[論文レビュー] An all-at-once preconditioner for evolutionary partial differential equations

Xue-lei Lin, Michael K. Ng|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2020

Matrix Theory and Algorithms参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、時間的陰解法から生じる全時刻同時系（all-at-once systems）に対するブロック巡回行列（BC）条件付け行列の一般化として、ブロックε巡回行列（BEC）条件付け行列を導入する。εをトップ右ブロックに組み込むことで、BEC条件付け行列は対角化可能であり、単位行列＋低ランク構造を保ち、εが小さい場合には固有値が1に集中し、空間的・時間的離散化サイズに依存しない線形収束率を示すGMRES法の収束を保証する。また、元のBC条件付け行列と同等の計算複雑度を維持する。

ABSTRACT

In [McDonald, Pestana and Wathen, extit{SIAM J. Sci. Comput.}, 40 (2018), pp. A1012--A1033], a block circulant preconditioner is proposed for all-at-once linear systems arising from evolutionary partial differential equations, in which the preconditioned matrix is proven to be diagonalizable and to have identity-plus-low-rank decomposition in the case of the heat equation. In this paper, we generalize the block circulant preconditioner by introducing a small parameter $ε>0$ into the top-right block of the block circulant preconditioner. The implementation of the generalized preconditioner requires the same computational complexity as that of the block circulant one.Theoretically, we prove that (i) the generalization preserves the diagonalizability and the identity-plus-low-rank decomposition; (ii) all eigenvalues of the new preconditioned matrix are clustered at 1 for sufficiently small $ε$; (iii) GMRES method for the preconditioned system has a linear convergence rate independent of size of the linear system when $ε$ is taken to be smaller than or comparable to square root of time-step size. Numerical results are reported to confirm the efficiency of the proposed preconditioner and to show that the generalization improves the performance of block circulant preconditioner.

研究の動機と目的

• 時間的陰解法による全時刻同時線形系に対してKrylov部分空間法の収束が遅い問題に対処する。
• 空間離散化に依存する収束性の保証が不十分な既存のブロック巡回行列（BC）条件付け行列の限界を克服する。
• 良好な固有値スペクトル特性を維持しながら、頑健性と収束特性を向上させる一般化された条件付け行列を開発する。
• 新しい条件付け行列が元のBC条件付け行列と同等の計算効率を維持することを保証する。
• 熱方程式および対流拡散方程式の数値実験において、BC条件付け行列を上回る性能を示す。

提案手法

• 標準的なブロック巡回条件付け行列のトップ右ブロックに小さなパラメータε > 0を導入することで、ブロックε巡回行列（BEC）条件付け行列を提案する。
• 高速フーリエ変換（FFT）を用いた対角化により、BEC条件付け行列の対角化可能性を活用し、フーリエ領域における効率的な行列ベクトル積を実現する。
• ラプラシアン型空間演算子に対しては、高速正弦変換（FST）をさらに活用して固有ブロックを対角化し、正確かつ高速な逆行列計算を可能にする。
• 一般の空間演算子に対しては、反復解法（例：多重グリッド）を内部解法として用い、条件付け行列の効率的逆行列計算を実現する。
• フーリエ領域におけるブロック対角系の解法によりBEC条件付け行列の逆行列を実装し、O(N log N)の計算コストを維持する。
• 再起動付きまたは再起動なしのGMRESを条件付け系に適用し、固有値クラスタリングおよび低ランク構造に基づく収束解析を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブロック巡回条件付け行列は、進化型PDEからの全時刻同時系に対して、固有値スペクトル特性と収束頑健性を向上させる一般化が可能か？
• RQ2 条件付け行列にパラメータεを導入することで、対角化可能性と条件付け行列の単位行列＋低ランク構造が保持されるか？
• RQ3 十分に小さなεに対して、BEC条件付け行列のすべての固有値が1に集中するか？ これは高速なKrylov部分空間法収束に不可欠である。
• RQ4 BEC条件付け行列を用いたGMRESの収束速度は、時間ステップサイズおよび空間ステップサイズに依存しないか？
• RQ5 一般化された条件付け行列は、元のブロック巡回条件付け行列と同等の計算複雑度で実装可能か？

主な発見

• BEC条件付け行列は、条件付け行列の対角化可能性と単位行列＋低ランク分解を保持しており、良好な固有値スペクトル特性を保証する。
• 十分に小さなεに対して、BEC条件付け行列のすべての固有値が1に集中する。これは高速なKrylov部分空間法収束に不可欠である。
• εが時間ステップサイズの平方根と同等またはそれ未満の場合、BEC条件付け行列を用いたGMRESは、系のサイズに依存しない線形収束率を示す。
• 熱方程式の数値結果では、BEC条件付け行列がBC条件付け行列よりも反復回数とCPU時間を削減する。
• 対流優勢の対流拡散方程式において、GMRES-BECは全テストグリッドサイズでGMRES-BCよりも低い残差誤差と少ない反復回数を達成する。
• BEC条件付け行列は、BC条件付け行列と同等の計算複雑度を維持しており、合計ストレージと計算コストは未知数の数に比例し、それぞれ対数的要因に比例する。