[論文レビュー] An alternative proof of a result of Takaoka

Shiqi Song|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、半マルティンゲール金融モデルにおける、有界リスクに対する利益の上限なし（NUPBR）条件が局所マルティンゲールディーフレーターの存在と同値であるという代替的証明を提示する。証明は資産プロセスの局所的特性のみに依存し、NFLVR 条件に依存せずに、半マルティンゲール微積分、有限次元凸解析、および可測選択を活用することで、NUPBR の局所的動的特性に基づく自己完結的理論を完成させる。

ABSTRACT

In Karatzas and Kardaras's paper on semimartingale financial models, it is proved that the NUPBR condition is a property of the local characteristic of the asset process alone. In Takaoka's paper on NUPBR, it is proved that the NUPBR condition is equivalent to the existence of a simga-martingale deflator. However, Takaoka's paper founds its proof on Delbaen and Schachermayer's fundamental asset pricing theorem, i.e. the NFLVR condition, which is not a pure property of the local characteristic of the asset process. In this paper we give an alternative proof of the result of Takaoka, which makes use only the properties of the local characteristic of the asset process.

研究の動機と目的

• 資産プロセスの局所的特性にのみ依存する NUPBR 条件の自己完結的特徴付けを確立すること。
• Takaoka の元々の証明に見られる制限、すなわち NFLVR 条件（局所的特性から導けないグローバル性質）に依存していた点を解消すること。
• Karatzas と Kardaras の枠組みに整合する、NUPBR と局所マルティンゲールディーフレーターの存在との同値性の自己完備的証明を提供すること。
• グローバルなマルティンゲール測度を用いずに、局所的動的特性に基づいて、ナマラリオポートフォリオの存在が局所マルティンゲールディーフレーターの存在を示唆することを示すこと。

提案手法

• ナマラリオポートフォリオ $\mathsf{V}(H^*)$ によるナマラリオ変換の下で、変換されたプロセス $S / \mathsf{V}(H^*)$ が資産価格基本定理の第二段階の条件を満たすことに着目する。
• Kreps-Yan 定理を適用し、集合 $\mathsf{C}$（適切なポートフォリオとその利益を用いて定義される）に対してすべての $f \in \mathsf{C}$ に対して $\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[f] \leq 0$ を満たす確率測度 $\mathbb{Q}$ の存在を確立する。
• S が $S / \mathsf{V}(\rho^*)$ に置き換えられるとき、元の測度 $\mathbb{P}$ の下で、グローバル条件 (1) がすでに満たされていることを利用している。ここで $\rho^*$ はナマラリオポートフォリオである。
• Delbaen と Schachermayer の基本定理の第二段階を、半マルティンゲールの局所的特性にのみ依存して適用し、有限次元凸解析と可測選択を用いる。
• 局所マルティンゲールディーフレーター $\xi = \frac{1}{\mathsf{V}(\rho^*)} \mathcal{E}(M)$ の構成が、$\mathbb{P}$ における $[0,T]$ 上で $\xi$ と $S\xi$ が両方とも局所マルティンゲールであることを示している。
• 正値性と可積分性により、$1 + H^\top \cdot S$ に $\xi$ を乗じたものが $\sigma$-マルティンゲール（従って局所マルティンゲール）であることを確認することで、$\xi$ が局所マルティンゲールディーフレーターであることを検証している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 NFLVR 条件に依存せずに、NUPBR 条件は局所マルティンゲールディーフレーターの存在と同値であるか？
• RQ2 資産プロセスの局所的特性のみを用いて、NUPBR と局所マルティンゲールディーフレーターの同値性を確立できるか？
• RQ3 ナマラリオポートフォリオの存在が、純粋に局所的解析に基づいて局所マルティンゲールディーフレーターの存在を示唆するか？
• RQ4 Takaoka の結果の証明を、グローバルな NFLVR 条件に依存せずに再定式化できるか？

主な発見

• NUPBR 条件は局所マルティンゲールディーフレーターの存在と同値であり、この同値性は半マルティンゲール資産プロセスの局所的特性のみを用いて証明可能である。
• Kreps-Yan 定理におけるグローバル条件が、ナマラリオポートフォリオへの変換後、元の測度 $\mathbb{P}$ の下で既に満たされていることにより、NFLVR 条件への依存を回避している。
• 局所マルティンゲールディーフレーター $\xi = \frac{1}{\mathsf{V}(\rho^*)} \mathcal{E}(M)$ が明示的に構成され、$\mathbb{P}$ における $[0,T]$ 上で $\xi$ と $S\xi$ が両方とも局所マルティンゲールであることが示されている。
• この手法は、半マルティンゲール微積分、有限次元凸解析、および可測選択にのみ依存しており、Karatzas と Kardaras (2007) が提唱したプログラムと整合している。
• 結果として、NUPBR 条件が資産プロセスの純粋な局所的性質であることが確認された。これは、グローバルな経路的性質ではなく、局所的特性にのみ依存するからである。