[論文レビュー] An alternative to Moran's I for spatial autocorrelation

Yuzo Maruyama|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2015

Spatial and Panel Data Analysis参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、空間的自己相関の新たな測度 $ I_M $ を提案する。これはモランの $ I $ の単調変換であり、正確な範囲 $[-1, 1]$ を保証する。これは、空間的重み行列に応じてモランの $ I $ がこの範囲を超える可能性があるという限界を解消する。変換によりバイアスが是正され、ピアソン相関と同等の解釈可能性が得られるとともに、パーミュテーション検定の妥当性が維持される。

ABSTRACT

Moran's I statistic, a popular measure of spatial autocorrelation, is revisited. The exact range of Moran's I is given as a function of spatial weights matrix. We demonstrate that some spatial weights matrices lead the absolute value of upper (lower) bound larger than 1 and that others lead the lower bound larger than -0.5. Thus Moran's I is unlike Pearson's correlation coefficient. It is also pointed out that some spatial weights matrices do not allow Moran's I to take positive values regardless of observations. An alternative measure with exact range [-1,1] is proposed through a monotone transformation of Moran's I.

研究の動機と目的

• モランの $ I $ が常に -1 から 1 の間にあるという誤解を是正すること。これはすべての空間的重み行列に対して成り立つわけではない。
• 一部の重み行列では、データの内容に関わらずモランの $ I $ が正の値を取り得ないという問題を是正すること。
• 正確な範囲 $[-1, 1]$ を保証する新しい空間的自己相関測度を提案すること。これにより解釈可能性が向上する。
• 新しい測度が、以前の研究で用いられたパーミュテーション検定の統計的妥当性を維持すること。

提案手法

• 空間的重み行列 $ \mathbf{W} $ の関数として、モランの $ I $ の正確な範囲を導出。これにより、$[-1, 1]$ を超える可能性があることが示される。
• 分布の中心化と不定性の確保のため、線形変換 $ (n-1)I + 1 $ を定義。これにより正負の両方の値を取ることが可能になる。
• 変換された行列 $ \mathbf{Q} = (n-1)\tilde{\mathbf{W}} + \mathbf{I}_{n-1} $ の極端な固有値に基づいて、正規化定数 $ C $ を構築。ここで $ \tilde{\mathbf{W}} $ は $ \mathbf{W} $ から導出される。
• 新しい測度 $ I_M = \frac{(n-1)I + 1}{C} $ を定義。$ C $ は、$ (n-1)I + 1 $ の符号に応じて、$ |(n-1)\lambda_{(1)} + 1| $ または $ (n-1)\lambda_{(n-1)} + 1 $ の最大値として選ばれる。
• $ I_M \in [-1, 1] $ であることを証明。境界値は、$ I = \lambda_{(1)} $ または $ I = \lambda_{(n-1)} $ のとき、すなわち $ \tilde{\mathbf{W}} $ の最小固有値および最大固有値と等しいときに達成される。
• $ I_M $ が $ I $ の単調変換であるため、$ I $ を用いたパーミュテーション検定は $ I_M $ を用いても依然として有効であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特定の空間的重み行列に対して、モランの $ I $ の範囲が $[-1, 1]$ を超えることは可能か？
• RQ2 なぜ一部の重み行列では、データの内容に関わらずモランの $ I $ が正の値を取り得ないのか？
• RQ3 正確な範囲 $[-1, 1]$ を有する空間的自己相関測度を構築することは可能か？ これにより統計的推論の性質が保たれるか？
• RQ4 モランの $ I $ の単調変換により、より解釈可能で有界な空間的自己相関測度を得ることは可能か？

主な発見

• モランの $ I $ の範囲は一貫して $[-1, 1]$ ではない。空間的重み行列に応じてこの区間を超える可能性があり、一部のケースでは $[-1, 1]$ の外側に境界が存在する。
• 一様重み $ w_{ij} = 1 $（すべての $ i \neq j $ に対して）を有する特定の重み行列では、データの内容に関わらずモランの $ I $ は常に負である。
• 提案された測度 $ I_M $ は正確な範囲 $[-1, 1]$ を有し、$ I $ が $ \tilde{\mathbf{W}} $ の最小固有値または最大固有値と等しいときに下限および上限が達成される。
• $ I_M $ の正規化定数 $ C $ は、$ (n-1)I + 1 $ の符号に応じて分岐的に定義され、出力が常に $[-1, 1]$ の範囲内にあることを保証する。
• 数値実験の結果、$ w_{ij} $ が $ (1-a, 1+a) $ に一様に分布する場合、$ a $ が小さい（例：$ n=100 $ の場合 $ a \approx 0.12 $）と $ \tilde{\mathbf{W}} $ は負定値となることが示され、$ I $ が負になる可能性がある。
• $ I_M $ が $ I $ の単調変換であるため、$ I $ を用いたすべてのパーミュテーション検定は、$ I_M $ を $ I $ の代わりに用いても依然として有効である。