[論文レビュー] An ampleness criterion for rank 2 vector bundles on surfaces

Arnaud Beauville|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 1被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、滑らかな射影的曲面上の globally 生成なランク 2 ベクトルバンドルの豊富性に関する基準を確立する。Néron-Severi 群がバンドルの第一 Chern 類で生成され、かつバンドルが少なくとも 4 つの global 戦略を持つならば、そのバンドルは豊富であるか、線分束とその行列式の直和に分解される。この結果は、Lazarsfeld-Mukai バンドル、P³ 内の直線の包絡線、および豊富な余接バンドルを持つ曲面に適用可能である。

ABSTRACT

We observe that the proof of the Bogomolov stable restriction theorem can be adapted to give an ampleness criterion for globally generated rank 2 vector bundles on certain surfaces. This applies to the Lazarsfeld-Mukai bundles, to congruences of lines in P^3, and possibly to the construction of surfaces with ample cotangent bundle (help welcome!).

研究の動機と目的

• 滑らかな射影的曲面上の globally 生成なランク 2 ベクトルバンドルの豊富性の十分条件を確立すること。
• この基準を Lazarsfeld-Mukai バンドルや P³ 内の直線の包絡線といった特殊な幾何的対象に適用すること。
• 豊富な余接バンドルを持つ新しい曲面の構成の可能性を検討すること。
• Néron-Severi 群と global 生成条件が豊富性を決定づける役割を明確にすること。

提案手法

• バンドルの global 生成性と global 戦略の 4 次元部分空間を用いて、自明バンドルからベクトルバンドルへの全射を構成する。
• その核バンドルの Chern 類を分析し、H¹(det(E)⁻¹) = 0 の下で c₁²(E) > c₂(E) であるという補題を適用する。
• Gieseker の補題を用いて、E → OC となる surjection を持つ曲線 C の存在を示し、核バンドルのフィルトレーションを得る。
• Bogomolov の定理を用いて核バンドルを線分束と torsion シェーブルの直和に分解し、Chern 類を分析して不等式を導出する。
• H¹(det(E)⁻¹) = 0 を用いて、核バンドルの双対が分解することを示し、h⁰(E) ≥ 4 である限り、E が分解可能でない限り矛盾が生じることを導く。
• 特定のケースに基準を適用する：Lazarsfeld-Mukai バンドル、P³ 内の直線の包絡線、および曲面の余接バンドル。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲面上の globally 生成なランク 2 ベクトルバンドルが豊富である条件は何か？
• RQ2 バンドルの第一 Chern 類の構造と global 戦略の次元だけで、ランク 2 バンドルの豊富性を特定できるか？
• RQ3 N¹(S) = Z·c₁(E) という条件は、豊富性基準において必須の役割を果たすか？
• RQ4 この基準を用いて、豊富な余接バンドルを持つ新しい曲面の例を構成できるか？
• RQ5 バンドルが豊富ではなく、OS ⊕ det(E) に分解されるという事実の幾何的意味は何か？

主な発見

• S を滑らかな射影的曲面とし、E を S 上の globally 生成なランク 2 ベクトルバンドルとする。h⁰(E) ≥ 4 かつ N¹(S) = Z·c₁(E) ならば、E は豊富であるか、OS ⊕ det(E) に同型である。
• 鍵となる技術的ステップは、H¹(S, det(E)⁻¹) = 0 の仮定の下で c₁²(E) > c₂(E) を示す補題である。
• Lazarsfeld-Mukai バンドルの場合、H¹(S, OS) = 0、N¹(S) = Z·[C]、NC ⊗ L⁻¹ が globally 生成かつ非自明であるとき、豊富性基準が適用可能である。
• P³ 内の直線の包絡線の場合、S ⊂ G(1,3) が次数 >1 で、N¹(S) が OG(1) の制限によって生成されるならば、E は豊富である。よって S には基本点がない。
• この基準により、P⁴ 内の Horrocks-Mumford アーベル曲面を Grassmannian に引き戻すと、基本点のない曲面が得られる。
• 余接バンドル Ω¹_S に対して、それが globally 生成で、q(S) ≥ 4、N¹(S) = Z·[K_S] ならば、Ω¹_S は豊富であるが、すべての仮定を満たす明示的例はまだ知られていない。