[論文レビュー] An analog of adjoint ideals and PLT singularities in mixed characteristic

Linquan Ma, Karl Schwede+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2019

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 39被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、完全体的ビッグコhen-マカウレイ代数を用いて、混合特徴標数における純粋なBCM正則特異点と付随理想を導入し、付随と逆付随を確立する。一様なBriançon-Skoda定理を証明し、残渣特徴標数 $p > 5$ のとき、2次元のKLT特異点がBCM正則であることを示し、この条件下で3次元のPLT対の除数的中心が正規であることを示唆する。

ABSTRACT

We use the framework of perfectoid big Cohen-Macaulay algebras to define a class of singularities for pairs in mixed characteristic, which we call purely BCM-regular singularities, and a corresponding adjoint ideal. We prove that these satisfy adjunction and inversion of adjunction with respect to the notion of BCM-regularity and the BCM test ideal defined by the first two authors. We compare them with the existing equal characteristic PLT and purely $F$-regular singularities and adjoint ideals. As an application, we obtain a uniform version of the Briançon-Skoda theorem in mixed characteristic. We also use our theory to prove that two-dimensional KLT singularities are BCM-regular if the residue characteristic $p>5$, which implies an inversion of adjunction for three-dimensional PLT pairs of residue characteristic $p>5$. In particular, divisorial centers of PLT pairs in dimension three are normal when $p > 5$. Furthermore, in the appendix we provide a streamlined construction of perfectoid big Cohen-Macaulay algebras and show new functoriality properties for them using the perfectoidization functor of Bhatt and Scholze.

研究の動機と目的

• 完全体的ビッグコhen-マカウレイ代数を用いて、混合特徴標数におけるPLT特異点と付随理想の類似物を定義すること。
• BCM正則性およびBCMテストイデアルに関して、付随と逆付随を確立すること。
• 新しい特異点および付随理想が、等特徴標数におけるPLTおよび $F$-正則特異点とどのように比較できるかを検討すること。
• この枠組みを用いて、混合特徴標数における一様なBriançon-Skoda定理を確立すること。
• 残渣特徴標数 $p > 5$ のとき、2次元のKLT特異点がBCM正則であることを示し、3次元のPLT対における除数的中心の正規性を導出すること。

提案手法

• 混合特徴標数における特異点の解消の代わりに、完全体的ビッグコhen-マカウレイ代数を用いる。
• 環 $R$ および $R/I_D$ 上の適切に選ばれたビッグコhen-マカウレイ代数 $B$ と $C$ を用いて、純粋なBCM正則特異点を定義する。
• 付随と逆付随を満たす付随理想 $\operatorname{adj}_{B\to C}^D(R,\Delta+D)$ を導入する。
• 既存の等特徴標数および正特徴標数の概念（PLTおよび $F$-正則特異点など）と比較するための枠組みを適用する。
• BhattとScholzeの完全体的化ファンクターを用いて、完全体的ビッグコhen-マカウレイ代数の新しいファンクター性質を確立する。
• 拡張リース代数およびヴェロネーゼ部分代数を用いて、Kollár成分の文脈における不一致および除数的引き戻しを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全体的ビッグコhen-マカウレイ代数を用いて、混合特徴標数におけるPLT特異点および付随理想の類似物を定義できるか。
• RQ2 混合特徴標数において、BCM正則性およびBCMテストイデアルに関して、逆付随が成り立つか。
• RQ3 新しい付随理想および特異点は、等特徴標数（PLT）および正特徴標数（$F$-正則）のそれらとどのように比較できるか。
• RQ4 この枠組みを用いて、混合特徴標数における一様なBriançon-Skoda定理を確立できるか。
• RQ5 残渣特徴標数 $p > 5$ のとき、2次元のKLT特異点がBCM正則であるか。また、3次元の3fold PLT対に対してどのような結果が得られるか。

主な発見

• 本稿は、混合特徴標数における純粋なBCM正則特異点について、付随と逆付随を確立する。
• 付随理想の構成を用いて、混合特徴標数における一様なBriançon-Skoda定理を証明する。
• 残渣特徴標数 $p > 5$ のとき、2次元のKLT特異点がBCM正則であることが示され、この条件下で3次元のPLT対の除数的中心が正規であることが示唆される。
• 付随理想 $\operatorname{adj}_{B\to C}^D(R,\Delta+D)$ は期待される付随公式を満たし、制限に関して良好に振る舞う。
• この枠組みにより、新しい付随理想と、代数的幾何および $F$-正則特異点からの付随理想との比較がなされ、既知のケースで整合性が示される。
• 付録では、完全体的ビッグコhen-マカウレイ代数の洗練された構成が与えられ、完全体的化ファンクターを用いて新しいファンクター性質が証明される。