[論文レビュー] An analogue of Fekete's lemma for subadditive functions on cancellative amenable semigroups

Tullio Ceccherini‐Silberstein, Fabrice Krieger+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2012

Analytic and geometric function theory参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、可除的左アーベル半群の有限部分集合上の劣加法的かつ右不変関数に対して、Feketeの補題の類似を確立し、Følnerネットの選択に依存しない極限に正規化された関数値が収束することを証明する。主な貢献は、従来の列に関する劣加法性の結果を半群作用へと拡張することであり、この一般化された設定において位相的および測度論的平均次元とエントロピーを定義可能にする。

ABSTRACT

We prove an analogue of Fekete's lemma for subadditive right-subinvariant functions defined on the finite subsets of a cancellative left-amenable semigroup. This extends results previously obtained in the case of amenable groups by E. Lindenstrauss and B. Weiss and by M. Gromov.

研究の動機と目的

• 可除的左アーベル半群の有限部分集合上の劣加法的かつ右不変関数へFeketeの補題を列から一般化すること。
• 左Følnerネットに対する正規化された劣加法的関数の極限の存在と不変性を確立すること。
• 得られた結果を、このような半群上の力学系における位相的および測度論的平均次元とエントロピーを定義するために応用すること。
• Lindenstrauss, Weiss, Gromovらの先行研究を、アーベル群から可除的アーベル半群へ拡張すること。

提案手法

• 可除的左アーベル半群の有限部分集合上で劣加法的かつ右不変な関数を定義する。
• 左Følnerネットを用いて、関数の正規化下での漸近的挙動を特徴付ける。
• アーベル性および可除性の性質を用いて、正規化された関数値がネットの選択に依存しない極限に収束することを証明する。
• 開被覆および可測分割を介して、収束結果を位相的および測度論的設定へ応用する。
• 有限被覆／分割に関する正規化されたエントロピーの上限として、位相的平均次元の存在を確立する。
• 異なるFølnerネットに対して極限が不変であるという性質を活用し、エントロピーおよび次元の定義の堅牢性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Feketeの補題は、可除的左アーベル半群上の劣加法的かつ右不変関数へ拡張可能か？
• RQ2 このような関数の正規化された値は、Følnerネットの選択に依存しない極限に収束するか？
• RQ3 この一般化されたFekete型の結果を、半群上の力学系における平均次元とエントロピーを定義するためにどのように応用できるか？
• RQ4 可除的左アーベル半群において、正規化された劣加法的関数の極限は、異なるFølnerネットに対して不変か？
• RQ5 一般化されたFeketeの補題と、アーベル群作用における既存のエントロピーおよび次元理論との関係は何か？

主な発見

• 可除的左アーベル半群の有限部分集合上の正規化された劣加法的かつ右不変関数の極限は存在し、かつ有限である。
• 極限は左Følnerネットの選択に依存せず、漸近的値の堅牢性を保証する。
• この結果により、有限開被覆に関する正規化されたエントロピーの上限として、位相的平均次元を定義可能になる。
• 測度論的エントロピー（Kolmogoroff-Sinaiエントロピー）は、有限可測分割に関する正規化されたエントロピーの上限として定義される。
• 可除性と左アーベル性の両方の仮定の下で、極限の収束性および不変性が成立する。
• この枠組みにより、アーベル群に対する先行研究が可除的アーベル半群へと一般化され、平均次元およびエントロピー理論の適用範囲が拡張される。