[論文レビュー] An analogue of Hilbert's Theorem 90 for infinite symmetric groups

Rovinsky Marat|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、無限対称群 $G = \operatorname{Sym}(S)$ が体 $k$ 上で無限集合 $S$ により自由に生成される体 $k(S)$ に作用する場合、$k(S)$ がさまざまな $G$-不変部分体 $K \subset k(S)$ に対する滑らかな $K$-半線形 $G$-表現の圏における単射的生成子であることを確立する。主な結果には、有限生成な滑らかな表現のネーター性、1次元表現のテンソル冪を通じた単射的生成子の存在、および有限長による不分解表現の完全分類が含まれる。

ABSTRACT

Let $K$ be a field and $G$ be a group of its automorphisms. If $G$ is precompact then $K$ is a generator of the category of smooth (i.e. with open stabilizers) $K$-semilinear representations of $G$. There are non-semisimple smooth semilinear representations of $G$ over $K$ if $G$ is not precompact. In this note the smooth semilinear representations of the group $G$ of all permutations of an infinite set $S$ are studied. Let $k$ be a field and $k(S)$ be the field freely generated over $k$ by the set $S$ (endowed with the natural $G$-action). One of principal results describes the Gabriel spectrum of the category of smooth $k(S)$-semilinear representations of $G$. It is also shown, in particular, that (i) for any smooth $G$-field $K$ any smooth finitely generated $K$-semilinear representation of $G$ is noetherian, (ii) for any $G$-invariant subfield $K$ in the field $k(S)$, the object $k(S)$ is an injective cogenerator of the category of smooth $K$-semilinear representations of $G$, (iii) if $K\subset k(S)$ is the subfield of rational homogeneous functions of degree 0 then there is a one-dimensional $K$-semilinear representation of $G$, whose integral tensor powers form a system of injective cogenerators of the category of smooth $K$-semilinear representations of $G$, (iv) if $K\subset k(S)$ is the subfield generated over $k$ by $x-y$ for all $x,y\in S$ then there is a unique isomorphism class of indecomposable smooth $K$-semilinear representations of $G$ of each given finite length.

研究の動機と目的

• 無限対称群 $G = \operatorname{Sym}(S)$ が体に作用する滑らかな半線形表現の構造を理解すること。
• このような表現がネーター的または半単純であるための条件を特定すること、特に群作用の前コンパクト性との関係を含む。
• 滑らかな $k(S)$-半線形 $G$-表現の圏のガブリエルスペクトルを記述すること。
• 単射的生成子を特定し、$k(S)$ の部分体構造に基づいて不分解表現を分類すること。
• 表現論的および体論的手段を用いて、ヒルベルトの定理90の類似を無限対称群へ拡張すること。

提案手法

• 群 $G = \operatorname{Sym}(S)$ の作用を、$k$ を係数体とする $S$ に関する有理関数の体 $k(S)$ に、自然な $G$-作用を備えて分析する。
• 特にガブリエルスペクトルの概念を用いた圏論的道具を適用し、$G$-不変部分体 $K \subset k(S)$ に対する滑らかな $K$-半線形 $G$-表現の圏を分類する。
• $k(S)$ が $G$-体としての構造を持つことを利用して、任意の $G$-不変部分体 $K \subset k(S)$ に対して、$k(S)$ が滑らかな $K$-半線形表現の圏における単射的生成子であることを証明する。
• 次数0の有理関数の部分体を用いて1次元 $K$-半線形表現を構成し、そのテンソル冪が単射的生成子の系をなすことを示す。
• $x, y \in S$ に対して $x - y$ を生成する $k(S)$ の部分体 $K \subset k(S)$ を調査し、各有限長に対して、不分解な滑らかな $K$-半線形表現の同型類が一意に存在することを証明する。
• 開安定化子を備えた滑らかな表現の理論を用い、$G$-作用の前コンパクト性条件を活用して、半単純性およびネーター性に関する構造的結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな $K$-半線形 $G$-表現 $G = \operatorname{Sym}(S)$ がネーター的であるための条件は何か？
• RQ2 $G$-不変部分体 $K \subset k(S)$ に対して、$k(S)$ が滑らかな $K$-半線形 $G$-表現の圏における単射的生成子であるのはいつか？
• RQ3 滑らかな $K$-半線形 $G$-表現の圏において、1次元表現のテンソル冪を用いて単射的生成子の系を構成できるか？
• RQ4 $K$ が $k(S)$ 内の次数0の有理関数の部分体であるとき、不分解な滑らかな $K$-半線形 $G$-表現の分類は何か？
• RQ5 滑らかな $K$-半線形 $G$-表現の圏の構造は、$G$-不変部分体 $K \subset k(S)$ の選択にどのように依存するか？

主な発見

• 任意の滑らかな $G$-体 $K$ に対して、$G$ の任意の滑らかな有限生成 $K$-半線形表現はネーター的である。
• 任意の $G$-不変部分体 $K \subset k(S)$ に対して、$k(S)$ は $G$ の滑らかな $K$-半線形表現の圏における単射的生成子である。
• $K$ が $k(S)$ 内の次数0の有理関数の部分体であるとき、1次元 $K$-半線形表現の整数的テンソル冪は単射的生成子の系をなす。
• $K$ が $k$ 上で $x, y \in S$ に対して $x - y$ を生成する部分体であるとき、各有限長に対して、$G$ の不分解な滑らかな $K$-半線形表現の同型類がちょうど1つ存在する。
• 滑らかな $k(S)$-半線形 $G$-表現の圏は、明確なガブリエルスペクトルを持つ。このスぺクトルは、$k(S)$ が $G$-体としての構造によって完全に記述される。
• 滑らかな $K$-半線形 $G$-表現における半単純性の欠如は、群作用の非前コンパクト性によって特徴づけられ、ヒルベルトの定理90の基準を一般化する。