[論文レビュー] An analogue of minimal surface theory in SL(n,C)/SU(n)

Masatoshi Kokubu, Masaro Takahashi+2 more|ArXiv.org|Aug 2, 2000

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、対称空間 SL(n,C)/SU(n) における最小曲面理論の非可換類似物を構築し、ユークリッド空間内の最小曲面および双曲的3次元空間内の定常平均曲率1曲面を一般化する。null 正則写像を用いた Weierstrass 型表現公式を確立し、正則右ガウス写像をもつ曲面に対して Chern-Osserman 型の不等式を証明し、古典的結果を高ランクの対称空間へ拡張する。

ABSTRACT

We shall discuss the class of surfaces with holomorphic right Gauss maps in non-compact duals of compact semisimple Lie groups (e.g. SL(n,C)/SU(n)), which contains minimal surfaces in R^n and constant mean curvature 1 surfaces in H^3. A Weierstrass type representation formula, and a Chern-Osserman type inequality for such surfaces are given.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間および双曲的3次元空間を超えて、SL(n,C)/SU(n) のような高ランクの対称空間へ最小曲面理論を一般化すること。
• 最小曲面および CMC-1 曲面の主要な性質（等角ガウス写像および等長埋め込み）を継承する、SL(n,C)/SU(n) 内の曲面のクラスを同定すること。
• SL(n,C) への正則データおよび null 埋め込みを用いた、これらの曲面の Weierstrass 型表現公式を構築すること。
• このような曲面の全絶対曲率に関して、Chern-Osserman 型の不等式を確立し、コンパクトな単純リー群の非コンパクト双対へ古典的結果を拡張すること。

提案手法

• G = SL(n,C), H = SU(n) とおく。正則埋め込み f: M → G/H に対して、f_z f^{-1} の射影を用いて、ν_R: M → P(ad(g)) として右ガウス写像を定義する。
• 平均曲率ベクトルの長さが、埋め込まれた空間の断面曲率に比例する曲面が、正則右ガウス写像をもつことと同値であることを特徴づける。
• B(α,α) = 0 かつ -B(α,σ(α)) > 0 を満たす g-値正則1形式 α を用いて、Weierstrass 型表現を構成する。ここで σ は対称対 (G,H) の対合である。
• F^{-1}dF = α を解き、M̃（M の基本被覆）から G への F: M̃ → G を得、それを G/H に射影して曲面を得る。
• null 正則写像 F の逆写像を用いて双対曲面 f^# を定義する。F は M 上で多価的であるが、第一基本形式は単価的である。
• Froベニウス級数法を用いてモノドロミーと端の挙動を解析し、正則特異点をもつ Fuchsian 系を用いて漸近展開を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SL(n,C)/SU(n) のようなコンパクト単純リー群の非コンパクト双対へ、最小曲面理論をどのように一般化できるか。
• RQ2 SL(n,C)/SU(n) への正則埋め込みに対して、その右ガウス写像が正則であるための条件は何か。また、そのような曲面が有する幾何的性質は何か。
• RQ3 正則データおよび SL(n,C) への null 埋め込みを用いて、これらの曲面の Weierstrass 型表現公式を構成できるか。
• RQ4 SL(n,C)/SU(n) 内で正則右ガウス写像をもつ曲面に対して、Chern-Osserman 不等式の類似物は何か。また、それは全曲率をどのように制約するか。

主な発見

• 正則右ガウス写像をもつ SL(n,C)/SU(n) 内の曲面は、R^n 内の最小曲面および H^3 内の CMC-1 曲面を一般化し、それらの主要な等角的および等長的性質を継承する。
• Weierstrass 型表現公式が存在する：任意のこのような曲面は、B(α,α) = 0 かつ -B(α,σ(α)) > 0 を満たす正則1形式 α に対して F^{-1}dF = α を満たす null 正則写像 F: M̃ → SL(n,C) の射影として得られる。
• 双対曲面 f^# は F^{-1} を用いて定義され、M 上では多価的であるが、第一基本形式は単価的であり、CMC-1 曲面理論における双対性を一般化する。
• 全絶対曲率が有限である曲面では、端は孤立しており、モノドロミーは正則特異点をもつ Fuchsian 系に従い、Frobenius 級数を用いた漸近解析が可能である。
• Chern-Osserman 型の不等式が成立する：f もしくはその双対 f^# の全絶対曲率は、 genus および端の数を含む位相的不変量によって下から抑えられる。
• モノドロミー行列 R の固有値の実部が整数でない場合、関連する Fuchsian 系の解は対数項を含む Frobenius 型展開をもち、独立な解の数は固有値 λ₀ の代数的重複度に一致する。