[論文レビュー] An analogue of Ryser's Theorem for partial Sudoku squares

Peter J‎. Cameron, A. J. W. Hilton+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2011

graph theory and CDMA systems参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ラテン方陣のリーザーの定理に類似した、部分スウドクウ盤の完成の必要十分条件を確立する。部分スウドクウ盤のためのホールの条件を導入し、特定の二部グラフが完全マッチングをもつことと、その完成が可能であることが同値であることを証明している。$p \mid r$ および $q \mid s$ の場合、検証は多項式時間で可能である。

ABSTRACT

In 1956 Ryser gave a necessary and sufficient condition for a partial latin rectangle to be completable to a latin square. In 1990 Hilton and Johnson showed that Ryser's condition could be reformulated in terms of Hall's Condition for partial latin squares. Thus Ryser's Theorem can be interpreted as saying that any partial latin rectangle $R$ can be completed if and only if $R$ satisfies Hall's Condition for partial latin squares. We define Hall's Condition for partial Sudoku squares and show that Hall's Condition for partial Sudoku squares gives a criterion for the completion of partial Sudoku rectangles that is both necessary and sufficient. In the particular case where $n=pq$, $p|r$, $q|s$, the result is especially simple, as we show that any $r imes s$ partial $(p,q)$-Sudoku rectangle can be completed (no further condition being necessary).

研究の動機と目的

• ラテン方陣の文脈で元々示されたリーザーの定理を、部分スウドクウ盤の文脈へ拡張すること。
• 部分ラテン方陣のためのホールの条件に類似する組合せ的条件を定義し、それをスウドクウの制約に適応すること。
• 任意の $r \times s$ 部分 $(p,q)$-スウドクウ長方形が、完全な $n \times n$ $(p,q)$-スウドクウ盤に完成可能であるための必要十分条件を確立すること。
• 新しい条件の下での完成問題の計算量的複雑性を分析すること。特に $p \mid r$ および $q \mid s$ の場合を対象とする。

提案手法

• 部分 $(p,q)$-スウドクウ長方形の各行および各列に欠落している記号に基づいて、二部グラフ $S_\alpha$ および $B_\beta$ を定義する。
• 不完全なブロックのサイズに応じて、行および列の頂点を複製し、記号の頂点への隣接関係を保つように $S_\alpha$ および $B_\beta$ を構築する。
• 完成条件を、各 $S_\alpha$ および $B_\beta$ グラフにおける完全マッチングの存在として定式化する。
• 二部グラフのホールの定理を用いて、マッチングの存在を不等式系への翻訳を行う。
• $p \mid r$ および $q \mid s$ の場合、追加の条件は不要であることを示す。任意のこのような部分長方形は完成可能である。
• 最大二部マッチングは $O(n^3)$ 時間で計算可能であるという事実を活用し、完成検証の多項式時間アルゴリズムを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラテン方陣のリーザーの定理は、部分スウドクウ盤へ一般化可能か？
• RQ2 どのような組合せ的条件が、部分 $(p,q)$-スウドクウ長方形が完全な $(p,q)$-スウドクウ盤に完成可能であることを保証するか？
• RQ3 完成可能性の特徴付けが、二部グラフにおける既知のマッチング条件に還元可能か？
• RQ4 ホールの条件の下で、部分スウドクウ盤の完成問題は依然として NP 困難のままであるか、それとも多項式時間で解けるようになるか？
• RQ5 どのような条件下で、部分スウドクウ長方形は追加制約なしに完成可能となるか？

主な発見

• 部分 $r \times s$ $(p,q)$-スウドクウ長方形が完全な $n \times n$ $(p,q)$-スウドクウ盤に完成可能であるための必要十分条件は、族 $S_\alpha$ および $B_\beta$ からなる二部グラフにおける完全マッチングの存在である。
• $p \mid r$ および $q \mid s$ の場合、任意の $r \times s$ 部分 $(p,q)$-スウドクウ長方形は、追加制約なしに完成可能である（定理2にて示唆）。
• 部分スウドクウ盤の完成問題は、$O(n)$ 個の二部グラフにおける完全マッチングの検証が $O(n^3)$ 時間で可能であるため、多項式時間で決定可能である。
• 完成のための条件は、スウドクウ盤のためのホールの条件に等しく、ラテン方陣におけるホール型基準を一般化している。
• 著者らは、ホールの条件の下での完成問題の決定問題が P に属することを示している。一般の場合とは異なり、これは NP 困難ではない。
• 本論文では、埋められたセルのみまたは空のセルのみを許容する場合、問題が依然として NP 困難のままであるかどうかは未解決のまま残されているが、その可能性が示唆されている。