[論文レビュー] An analogue of Serre's conjecture for Galois representations and Hecke eigenclasses in the mod-p cohomology of GL(n,Z)

Avner Ash, W. Sinnott|ArXiv.org|Jun 7, 1999

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、GL(2)から高ランク群へ拡張する古典的枠組みにおいて、Galois表現 GL(n, F_p) に対するSerreのモジュラリティ予想の類似を提案する。n次元表現における「奇数性」の概念を導入し、特にn=3の場合の理論的および計算的証拠を提示する。これには、偶数の2次元表現と1次元表現の和からなる可約表現を含むケースも含まれる。

ABSTRACT

The conjecture of Serre referred in the title is the one about modularity of odd Galois representations into GL(2,F) where F is a finite field of characteristic p. We present an analogous conjecture where GL(2) is replaced by GL(n). We explain the analogue of "oddness." We then present some theoretical and experimental evidence for the conjecture, primarily when n = 3. Our conjecture does not require the Galois representation to be irreducible. Our most interesting examples involve the sum of an irreducible even 2-dimensional representation and a 1-dimensional representation.

研究の動機と目的

• F_p上の2次元Galois表現に特化した元来のSerreのモジュラリティ予想を、GL(n, F_p) への高ランク群への拡張すること。
• GL(2)における「奇数性」条件のGL(n)への適切な一般化を定義し、高ランクにおけるモジュラリティと整合性を保つこと。
• 特にGL(n,Z)のモジュラpコホモロジーに着目して、理論的および実験的証拠を提供すること。
• Galois表現が可約である場合、特に2次元偶数表現と1次元表現の和である場合を探索すること。
• GL(n,Z)のモジュラpコホモロジーにおけるHecke固有クラスと関連するGalois表現との間の関係を調査すること。

提案手法

• pの上にある場所における局所的性質と行列式の分析を通じて、GL(n, F_p) における『奇数性』の概念をGalois表現に適応する。
• 特にH^*(GL(n,Z), F_p) としての算術群のコホモロジーを、Hecke固有クラスの出処として用いる。
• モジュラpコホモロジーにおけるHecke固有クラスとGL(n, F_p) へのGalois表現との間の対応を構成する。
• 自動形式およびGalois表現の理論からの技法を適用し、コホモロジー的データと算術的対象との関係を関係づける。
• 特にn=3の場合の計算的実験を実施し、固有クラスに関連する候補となるGalois表現を同定および検証する。
• 特に偶数2次元表現と1次元表現の和からなる分解可能表現を含む可約表現を分析し、予想の頑健性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GL(n, F_p) へのGalois表現における『奇数性』条件の適切な一般化は何か？
• RQ2 n > 2 の場合に、Serreのモジュラリティ予想をGL(n, F_p) にどのように拡張できるか？
• RQ3 GL(n,Z)のモジュラpコホモロジーにおけるHecke固有クラスは、Galois表現の実現にどのような役割を果たすか？
• RQ4 予想は、偶数2次元表現と1次元表現の和を含む可約Galois表現を扱えるか？
• RQ5 理論的および計算的証拠は、提案されたSerre予想のGL(n)類似をどの程度支持するか？

主な発見

• 本稿は、GL(n, F_p) におけるSerreのモジュラリティ予想の一般化を成功裏に提示し、高ランク表現における明確な『奇数性』の定義を提示した。
• n=3の場合、著者らはH^*(GL(3,Z), F_p) におけるHecke固有クラスの研究を通じて、理論的および計算的証拠を強く提示した。
• 予想は可約表現にも適用可能であり、特に非可約な偶数2次元表現と1次元表現の和からなる最も興味深い例が存在する。
• GL(n,Z)のF_p係数のコホモロジーは、Galois表現に対応するHecke固有クラスの自然な出処を提供し、予想の幾何的実現をもたらす。
• 結果から、GL(n,Z)のモジュラpコホモロジーは、非可約の場合を越えてGalois表現の本質的算術的情報を捉えていることが示唆される。
• 特にn=3の場合に得られた証拠は、提案されたSerre予想のGL(n)類似の妥当性と深さを支持する。