[論文レビュー] An analogue of the Rademacher function for generalized Dedekind sums in higher dimension

Hi-joon Chae, Byungheup Jun+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2014

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ひとこと要約

本稿は、$n$次元における一般化 Dedekind 和のための高次元版 Rademacher 関数を導入し、Todd 級数と反復留数を用いて整数性を保証する一般化 Rademacher 関数を定義する。この関数により、一般化 Dedekind 和の分数部分が、関連する指数和に対する非自明な評価を通じて等分布することを証明し、ベルヌーイ数を用いた分母の明示的制御を伴う、古典的 Dedekind 和の結果を高次元に拡張する。

ABSTRACT

We consider generalized Dedekind sums in dimension $n$, for fixed $n$-tuple of natural numbers, defined as sum of products of values of periodic Bernoulli functions. This includes the higher dimensional Dedekind sums of Zagier and Apostol-Carlitz' generalized Dedekind sums as well as the original Dedekind sums. These are realized as coefficients of Todd series of lattice cones and satisfy reciprocity law from the cocycle property of Todd series. Using iterated residue formula, we compute the coefficient of the decomposition of of the Todd series corresponding to a nonsingular decomposition of the lattice cone defining the Dedekind sums. We associate a Laurent polynomial which is added to generalized Dedekind sums of fixed index to make their denominators bounded. We give explicitly the denominator in terms of Bernoulli numbers. This generalizes the role played by the rational function given by the difference of the Rademacher function and the classical Dedekind sums. We associate an exponential sum to the generalized Dedekind sums using the integrality of the generalized Rademacher function. We show that this exponential sum has a nontrivial bound that is sufficient to fulfill Weyl's equidistribution criterion and thus the fractional part of the generalized Dedekind sums are equidistributed. As an example, for a 3 dimensional case and Zagier's higher dimensional generalization of Dedekind sums, we compute the Laurent polynomials associated.

研究の動機と目的

• 格子錐の Todd 級数と格子錐分解を用いて、古典的 Rademacher 関数を $n$ 次元 Dedekind 和へ一般化すること。
• 一般化 Dedekind 和の分母を一様に有界化するため、分母が無限大に発散するのを是正するためのローレンツ多項式を関連付けること。
• 一般化 Rademacher 関数の整数性から導かれる指数和に対する非自明な評価を用いて、一般化 Dedekind 和の分数部分が 1 を法として等分布することを証明すること。
• 3次元 Dedekind 和や Zagier の高次元一般化といった特定のケースに対して、明示的なローレンツ多項式を計算すること。
• 全実体の部分ゼータ関数を非正整数における値として理解するための枠組みを、一般化 Dedekind 和とその算術的性質を通じて提供すること。

提案手法

• 格子錐の Todd 級数を用いて一般化 Dedekind 和を係数として表現し、Todd 級数のコycle性質を活用して再帰的法則を得る。
• 非特異な格子錐分解に対して、反復留数公式を適用して Todd 級数係数を分解し、明示的計算を可能にする。
• 一般化 Dedekind 和に加えるローレンツ多項式として一般化 Rademacher 関数を定義し、分母がベルヌーイ数を用いて明示的に表現されることを保証する。
• 一般化 Rademacher 関数の整数性から指数和を構成し、Weyl の等分布基準を満たす十分な非自明な評価を得る。
• 形式的ベキ級数環における Parshin 点と反復定数項（留数）を用いて一般化 Rademacher 関数を定義し、変数の順序入れ替えに応じた順序依存性を示す。
• 特定の分母の代数的条件の下で、逐次留数写像を用いて定義される反復定数項作用素 $\operatorname{iCT}_{\mathfrak{A}}$ を用いて、有理関数から係数を抽出し、$\mathfrak{A}$-適切性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的 Rademacher 関数は、$n$ 次元における一般化 Dedekind 和へどのように一般化可能か？
• RQ2 一般化 Dedekind 和の分母の構造は何か？また、補正項を用いて一様に有界化可能か？
• RQ3 一般化 Dedekind 和の分数部分は 1 を法として等分布するか？その条件は何か？
• RQ4 格子錐の Todd 級数は、一般化 Dedekind 和の計算とその再帰的法則の導出にどのように利用可能か？
• RQ5 3次元や Zagier 型の一般化といった特定のケースにおいて、一般化 Dedekind 和の是正に伴う明示的なローレンツ多項式は何か？

主な発見

• 一般化 Rademacher 関数は、固定されたインデックスを持つ一般化 Dedekind 和に加えるローレンツ多項式として構成され、分母がベルヌーイ数を用いて明示的に表現され、有界であることを保証する。
• 一般化 Dedekind 和の分数部分は、Weyl の等分布基準を満たす非自明な指数和評価が得られることから、1 を法として等分布することが示された。
• 3次元ケースおよび Zagier の高次元一般化に対して、一般化 Rademacher 関数に関連するローレンツ多項式を明示的に計算した。
• 反復留数公式により、非特異な格子錐分解に対応する Todd 級数係数を分解でき、一般化 Dedekind 和の正確な計算が可能となった。
• 一般化 Rademacher 関数は整数的であり、この整数性が指数和の非自明な評価を構成する基盤となり、等分布の証明に不可欠である。
• Parshin 点を用いた反復定数項の手法により、複数変数の有理関数の係数を体系的に定義・計算する方法が得られ、変数の順序に依存する結果が、格子錐の幾何的性質を反映している。