[論文レビュー] An analogue of the Szemeredi Regularity Lemma for bounded degree graphs

Gábor Elek, Gábor Lippner|ArXiv.org|Sep 17, 2008

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、最大次数 d の有限グラフに対して、準同型的分解を導入することにより、Szemerédi 正則性補題の有界次数版を確立する。任意の十分に大きなこのようなグラフは、小さな辺の割合を除去した後、有界個数の準同型的部分に分割可能であり、その分割構造は統計的収束のもとで保存される。これは、Farrell-Varadarajan 統計力学的分解定理を有限グラフへと拡張するものである。

ABSTRACT

We show that a sufficiently large graph of bounded degree can be decomposed into quasi-homogeneous pieces. The result can be viewed as a "finitarization" of the classical Farrell-Varadarajan Ergodic Decomposition Theorem.

研究の動機と目的

• 有界次数の有限グラフに対して、Farrell-Varadarajan 統計力学的分解定理の有限版を構築すること。
• 大規模な有界次数グラフを、部分グラフ密度統計を保持する準同型的成分に分解すること。
• 従来の正則性手法が失敗するスパースグラフに適用可能な、Szemerédi 正則性補題の有限グラフ版を確立すること。
• グラフ列の統計的収束が、その準同型的分割の収束を示すこと。
• 可測な彩色を構築することで、統計力学理論とグラフ理論を結ぶ。その彩色はグラフ極限における不変測度を近似する。

提案手法

• 根付き球の半径 r における密度に基づいて、統計的距離 $ d_s(G,H) $ を定義し、有界次数グラフの空間上で擬距離を形成する。
• 大規模な部分グラフがわずかな数の辺で接続されており、それらの部分グラフ密度が類似しているような、$ (\u000003c9;\lambda,\delta) $-準同型的グラフの概念を導入する。
• Farrell-Varadarajan 統計力学的分解定理の有限化を用い、有限レベルの彩色を用いて、根付きグラフ空間上の不変測度を近似する。
• グラフ空間上のボレル関数のステップ関数近似 $ c_M $ を構築し、$ M $-近傍を用いて可測な彩色を定義する。
• 十分に大きな $ n $ に対して、$ G_n $ における $ M $-近傍の経験的分布が、$ \varepsilon/10 $ の誤差内で不変測度を近似することを証明し、収束を保証する。
• 頂点および辺の彩色技術を用い、$ \binom{d^2+1}{2} $ 色を用いて、極限において収束が保たれるようにする。これにより、結果として得られる辺彩色グラフ列は統計的に収束する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Farrell-Varadarajan 統計力学的分解定理は、有限の有界次数グラフに適用可能な有限版に拡張可能か？
• RQ2 小さな辺の割合を除去した後、有界次数グラフは有界個数の準同型的部分に分割可能か？
• RQ3 二つの有界次数グラフが部分グラフ密度において統計的に近い場合、それらの準同型的分割も収束するか？
• RQ4 辺彩色を構築することで、結果として得られるグラフ列が統計的収束を保つようにできるか？
• RQ5 最大次数 d のスパースグラフに対して、Szemerédi 正則性補題の有限版は存在するか？

主な発見

• 任意の $ \delta > 0 $、$ \lambda > 0 $ に対して、$ K = K(\delta,\lambda) $、$ N = N(\delta,\lambda) $、および $ \varepsilon = \varepsilon(\delta,\lambda) < \delta $ が存在し、$ |V(G)| \geq N $ を満たす連結グラフ $ G \in \textrm{Graph}_d $ は、最大 $ \delta |E(G)| $ の辺を除去した後、$ K+1 $ 個の部分に分割可能である。
• 分割は $ K $ 個の空でない部分と、$ |V(G_\emptyset)|/|V(G)| < \delta $ を満たす無視できる部分 $ G_\emptyset $ からなる。
• 各空でない部分は $ |V(G_i)|/|V(G)| > \delta^2/(10dK) $ を満たし、サイズのバランスが保たれる。
• もし $ d_s(G,H) < \tau $ であれば、十分に小さな $ \tau $ に対して、$ G $ と $ H $ の準同型的分割は統計的に近い：すべての $ i $ に対して $ d_s(G_i,H_i) < \sigma $ および $ \left| |V(G_i)|/|V(G)| - |V(H_i)|/|V(H)| \right| < \sigma $ が成り立つ。
• $ \binom{d^2+1}{2} $ 色を用いた頂点および辺の彩色の構築により、結果として得られる辺彩色グラフ列は統計的に収束する。
• この手法により、根付きグラフ空間上の不変測度の有限近似を用いた収束の構成的証明が可能となり、$ M $-近傍の彩色を用いて統計力学的極限を模倣する。