[論文レビュー] An Analysis of Tennenbaum’s Theorem in Constructive Type Theory

Hermes, Marc, Kirst, Dominik|arXiv (Cornell University)|May 8, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、自然数上の関数がすべて計算可能であるというチャーチの Thesis が、キュービカル型理論の標準的キュービカルアセンブリーズモデルでは成立しないが、キュービカルアセンブリーズ内に反射的サブユニバースを構成することによって、ユニバーサル型理論と整合的であることを示している。主な貢献は、ユニバーサル性と再帰的構成的数学の核となる原則を調和させる、新しいモデルの構築である。

ABSTRACT

Tennenbaum’s theorem states that the only countable model of Peano arithmetic (PA) with computable arithmetical operations is the standard model of natural numbers. In this paper, we use constructive type theory as a framework to revisit and generalize this result. The chosen framework allows for a synthetic approach to computability theory, by exploiting the fact that, externally, all functions definable in constructive type theory can be shown computable. We internalize this fact by assuming a version of Church’s thesis expressing that any function on natural numbers is representable by a formula in PA. This assumption allows for a conveniently abstract setup to carry out rigorous computability arguments and feasible mechanization. Concretely, we constructivize several classical proofs and present one inherently constructive rendering of Tennenbaum’s theorem, all following arguments from the literature. Concerning the classical proofs in particular, the constructive setting allows us to highlight differences in their assumptions and conclusions which are not visible classically. All versions are accompanied by a unified mechanization in the Coq proof assistant.

研究の動機と目的

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• 型理論におけるチャーチの Thesis とユニバーサル性の間の緊張を解消すること。
• チャーチの Thesis が標準的キュービカルアセンブリーズモデルで成立しないにもかかわらず、ユニバーサル型理論のモデルでチャーチの Thesis が成立するようにすること。
• 反射的サブユニバースとキュービカルアセンブリーズの適用範囲を、構成的数学の基礎的原則へと拡張すること。
• 特にマークフ・の原理やブロイエルの連続性原理のような公理について、ホモトピー型理論における整合性結果のための新しいモデルを提供すること。

提案手法

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• 著者たちは、拡張型理論と命題的トレントレーションを支持するベースとしてキュービカルアセンブリーズモデルを用いる。
• 彼らは、Rijke, Shulman, および Spitters の Σ-閉反射的サブユニバース理論を応用し、キュービカルアセンブリーズ内に反射的サブユニバースを構成する。
• この構成により、すべての関数 N→N が適切な反射メカニズムを通じて計算可能であるように保証され、チャーチの Thesis がサブユニバース内で成立する。
• 空型 ⊥ にグローバルセクションが存在しないことを示すことで、モデルの整合性を検証する。
• 定数プレシーブィアフのwell-supportnessおよびファンクターイリティを用いて、マークフの原理やブロイエルの連続性原理といった性質をアセンブリーズからモデルへと転送する。
• キーパラメータとして、ユニバーサル性、命題的トレントレーション、チャーチの Thesis、マークフの原理が、構築された設定で整合的に共存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 .
• RQ2 標準的キュービカルアセンブリーズモデルでチャーチの Thesis が成立しないにもかかわらず、ユニバーサル型理論にチャーチの Thesis を整合的に追加できるか？
• RQ3 キュービカルアセンブリーズ内に、チャーチの Thesis が成立するような反射的サブユニバースをどのように構成できるか？
• RQ4 特に空型の要素が存在しないことに関して、その結果得られるモデルが論理的に整合的であるか？
• RQ5 マークフの原理やブロイエルの連続性原理といった追加の構成的原則が、このモデルで同時に妥当化可能か？
• RQ6 反射的サブユニバースは、型理論におけるユニバーサル性と再帰的構成主義を調和させる役割を果たすか？

主な発見

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• キュービカル型理論のキュービカルアセンブリーズにおける標準的解釈では、チャーチの Thesis は偽であるが、モデルの内部論理では成立する。
• チャーチの Thesis が成立するキュービカルアセンブリーズの反射的サブユニバースが構成され、ユニバーサル型理論と整合的であることが示された。
• モデルはユニバーサル性、命題的トレントレーション、チャーチの Thesis、マークフの原理を同時に満たしており、⊥ にはグローバルセクションが存在しない。
• ブロイエルの連続性原理もモデルで妥当化され、ユニバーサル型理論と整合的であることが新たな証明によって示された。
• この構成は、反射的サブユニバースとwell-supportnessに依拠し、アセンブリーズからキュービカル設定へ性質を転送する。
• このアプローチは、ホモトピー型理論における整合性結果のための新しい枠組みを提供し、高次インダクティブ型や拡張チャーチの Thesis への応用の可能性を秘めている。