[論文レビュー] An Analysis of the Effect of Ghost Force Oscillation on Quasicontinuum Error

Matthew Dobson, Mitchell Luskin|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2008

Microstructure and mechanical properties参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、原子論的から連続体への結合における準連続体（QC）法におけるゴースト力振動の効果を分析する。非物理的力が界面に存在するにもかかわらず、ゴースト力の影響がほぼ相殺されることを示し、その結果、ℓ∞およびw1,1ノルムにおける最適なO(h)収束が得られ、変位勾配誤差は原子論的領域でO(h|log h|)の距離内にO(h)に指数関数的に減少し、連続体領域ではO(h)に減少する。これは一般の凹型の二階近接原子間ポテンシャルの仮定のもとで成立する。

ABSTRACT

The atomistic to continuum interface for quasicontinuum energies exhibits nonzero forces under uniform strain that have been called ghost forces. In this paper, we prove for a linearization of a one-dimensional quasicontinuum energy around a uniform strain that the effect of the ghost forces on the displacement nearly cancels and has a small effect on the error away from the interface. We give optimal order error estimates that show that the quasicontinuum displacement converges to the atomistic displacement at the optimal rate O($h$) in the discrete $\ell^\infty$ norm and O($h^{1/p}$) in the $w^{1,p}$ norm for $1 \leq p < \infty.$ where $h$ is the interatomic spacing. We also give a proof that the error in the displacement gradient decays away from the interface to O($h$) at distance O($h|\log h|$) in the atomistic region and distance O($h$) in the continuum region. E, Ming, and Yang previously gave a counterexample to convergence in the $w^{1,\infty}$ norm for a harmonic interatomic potential. Our work gives an explicit and simplified form for the decay of the effect of the atomistic to continuum coupling error in terms of a general underlying interatomic potential and gives the estimates described above in the discrete $\ell^\infty$ and $w^{1,p}$ norms.

研究の動機と目的

• ゴースト力（一様ひずみ下での界面に非ゼロの力が働く）が原子論的から連続体への結合におけるQC誤差に与える影響を分析すること。
• 凹型の二階近接相互作用を有する一般の原子間ポテンシャルのもとで、QCの変位および変位勾配の最適誤差推定を確立すること。
• ゴースト力の影響がほぼ相殺されることを示し、非物理的力が界面に存在するにもかかわらず、バルク領域における誤差は小さくなること。
• 誤差の明示的減衰見積もりを提供し、界面領域のサイズを定量化すること。

提案手法

• 一様ひずみのまわりで一次元の原子論的エネルギーとそのQC近似を線形化し、三つの系（原子論的、連続体、ゴースト力項gを含むQC）を導出する。
• 誤差方程式Lqc,h uqc − g = fを導出する。ここでgは界面に局在化したゴースト力寄与を表す。
• 行列解析と漸近展開を用いて誤差系を解き、解の各成分m、ũK+1、およびβがすべてO(h)であることを示す。
• 離散的ℓpおよびw1,pノルムを用いて変位および変位勾配の誤差を評価し、行列の逆行列の一様有界性を活用する。
• λ > 1である減衰率を用いてλ-j項を評価することで、原子論的領域における導関数誤差の指数的減衰を確立する。
• 連続体領域におけるメッシュの粗化の影響を検討し、解の線形性のおかげで誤差境界に影響しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の原子間ポテンシャルのもとで、ゴースト力振動はQC近似の全体誤差にどのように影響するか？
• RQ2 離散的ノルムにおけるQC変位の原子論的変位への収束速度は何か？
• RQ3 変位勾配の誤差は、原子論的から連続体への界面から離れるに従いどのように減少するか？
• RQ4 界面領域のサイズはhの関数として定量化可能か？また、誤差の大きさに影響を与えるか？
• RQ5 変位勾配の誤差は界面を越えて一様にO(h)で有界であるか？また、どの程度の速さで減少するか？

主な発見

• QC変位誤差はℓ∞ノルムでChに有界であり、最適なO(h)収束を示している。
• 変位勾配誤差は1 ≤ p ≤ ∞のw1,pノルムでCh^{1/p}に有界であり、最適な収束率が確認された。
• 原子論的領域では、変位勾配誤差は指数関数的に減少し、界面からの距離がO(h|log h|)の範囲内でO(h)に達する。
• 連続体領域では、すべてのj ≥ K+2に対して変位勾配誤差はO(h)であり、界面を越えて即座に減少する。
• 誤差系を解く際に用いられる行列の逆行列は一様に有界であり、Kおよびhに依存しない安定性と収束性を保証する。
• 連続体領域が粗くされても、界面に近い自由度が削除されない限り、結果は成立する。