[論文レビュー] An analysis of the input-to-state-stabilisation of linear hyperbolic systems of balance laws with boundary disturbances

Gediyon Weldegiyorgis, Mapundi K. Banda|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、境界摂動を伴う線形双曲型バランス法則に対して、$L^2$-ノルムのISS-ラプラス関数を用いた離散入力状態安定性（ISS）解析を提案する。連続的なISS-ラプラス関数を有限体積上流差分法および時間分割法により離散化することで、離散系がISSのままである条件を確立し、Saint-Venant方程式および等温Euler方程式における数値実験でラプラス関数の漸近的減衰を示した。

ABSTRACT

In this paper, a linear hyperbolic system of balance laws with boundary disturbances in one dimension is considered. An explicit candidate Input-to-State Stability (ISS)-Lyapunov function in $ L^2- $norm is considered and discretised to investigate conditions for ISS of the discrete system as well. Finally, experimental results on test examples including the Saint-Venant equations with boundary disturbances are presented. The numerical results demonstrate the expected theoretical decay of the Lyapunov function.

研究の動機と目的

• 境界摂動を受ける線形双曲型バランス法則系の入力状態安定性（ISS）を分析すること。
• 半離散化された系における安定性の数値的検証を目的とした離散ISS-ラプラス関数を開発すること。
• Saint-Venant方程式や等温Euler方程式のような物理的モデルに対して、理論的ISS条件を数値シミュレーションで検証すること。
• 数値離散化、特に数値粘性の影響がISS特性に与える影響を調査すること。

提案手法

• 可変係数を有する線形双曲型バランス法則系に対して、連続的$L^2$-ノルムのISS-ラプラス関数を構築する。
• ラプラス関数を空間近似に上流差分法を用いた有限体積法により離散化する。
• 時間積分には、双曲型ダイナミクスと境界フィードバックを分離するための時間分割法を用いる。
• 与えられた境界フィードバックおよび摂動構造のもとで、離散ラプラス関数が時間とともに減少することを保証することで、安定性条件を導出する。
• 理論的離散ISS条件は、さまざまな境界摂動プロファイル下での離散ラプラス関数の減衰をシミュレートすることで、数値的に検証する。
• 本手法は、Saint-Venant方程式および特定の初期・境界条件を有する等温Euler方程式の2つのテストケースに適用される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界摂動を伴う線形双曲型系に対して、離散的$L^2$-ノルムラプラス関数がどのような条件下で減少するか。
• RQ2 ISS-ラプラス関数の離散化が、連続系の入力状態安定性特性を保持できるか。
• RQ3 数値的アーティファクト、特に数値粘性が、離散ラプラス関数の減少率にどのように影響するか。
• RQ4 行列$M_j$が正半定値でない場合、等温Euler方程式においてもISS特性が成立するか。
• RQ5 数値シミュレーションは、境界摂動下でのラプラス関数の理論的減少行動とどの程度一致するか。

主な発見

• 数値実験により、境界摂動下でのSaint-Venant方程式に対して、離散的$L^2$-ノルムラプラス関数が時間とともに漸近的に減少することが確認され、離散ISSが成立することが裏付けられた。
• Saint-Venant方程式のケースでは、$\mu > 0$の複数の値に対してラプラス関数の減少が観察され、曲線がゼロに収束するため、安定性が強固であることが示された。
• 等温Euler方程式のケースでは、$\gamma_{22}(x) < 0$のため、行列$M_j$が正半定値でなくなるため、ISSの条件を満たさず、ISS結果は成立しない。
• $T=10$、$J=1600$、CFL=0.75のシナリオで、ラプラス関数の減少が明示的にシミュレーションで観察され、理論的減少率が妥当であることが検証された。
• 数値結果により、解析的に導出された理論的ISS条件が、離散ラプラス関数フレームワークを用いて計算的に検証可能であることが確認された。
• 本研究は、数値粘性などの数値的アーティファクトを注意深く分析する必要性を浮き彫りにした。これらは、離散安定性結果の収束速度に影響を与える可能性がある。