[論文レビュー] An analysis of the practical DPG method

Jay Gopalakrishnan, Weifeng Qiu|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2011

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ラプラス方程式および線形弾性論に対する実用的Discontinuous Petrov-Galerkin (DPG)法の完全な誤差解析を提供し、試行関数の多項式次数 $ p $ と空間次元 $ N $ に対して、試行関数から試験関数への作用素 $ T $ が次数 $ r \geq p + N $ の多項式を用いて近似される場合、最適収束率が保持されることを示している。解析は、実装におけるすべての実用的近似を考慮しており、特に離散的試験関数の使用とその結果生じる剛性行列の条件数に関するものである。

ABSTRACT

In this work we give a complete error analysis of the Discontinuous Petrov Galerkin (DPG) method, accounting for all the approximations made in its practical implementation. Specifically, we consider the DPG method that uses a trial space consisting of polynomials of degree $p$ on each mesh element. Earlier works showed that there is a "trial-to-test" operator $T$, which when applied to the trial space, defines a test space that guarantees stability. In DPG formulations, this operator $T$ is local: it can be applied element-by-element. However, an infinite dimensional problem on each mesh element needed to be solved to apply $T$. In practical computations, $T$ is approximated using polynomials of some degree $r > p$ on each mesh element. We show that this approximation maintains optimal convergence rates, provided that $r\ge p+N$, where $N$ is the space dimension (two or more), for the Laplace equation. We also prove a similar result for the DPG method for linear elasticity. Remarks on the conditioning of the stiffness matrix in DPG methods are also included.

研究の動機と目的

• 実装におけるすべての近似を考慮した、実用的DPG法の完全な誤差解析を提供すること。
• 試行関数から試験関数への作用素 $ T $ が高次多項式を用いて近似される場合のDPG法の最適収束率を確立すること。
• 実用的DPG法における剛性行列の条件数を分析すること。
• 理想DPG法の理論的枠組みを、完全に実装可能な実用的バージョンに拡張すること。
• 2階楕円型問題、特に線形弾性論に対して、この方法の頑健性および収束特性を検証すること。

提案手法

• 無限次元の試行関数から試験関数への作用素 $ T $ を、次数 $ r $ の有限次元試験関数空間へのガラーキン射影によって定義される離散的作用素 $ T^r $ で近似することで、実用的DPG法を定式化する。
• 局所的な試験関数計算の可解性を保証するため、混合未知数（フラックス、トレース、数値的トレース）を用いた超弱変分形式を採用する。
• 離散的試験関数空間 $ V_h^r $ は $ T^r(U_h) $ として構築され、ここで $ U_h $ は次数 $ p $ の多項式からなる試行空間であり、$ T^r $ は要素単位での局所的解法により計算される。
• 主な技術的道具として、微分作用素と可換であり、発散を保存する射影作用素 $ \varPi_{p+2}^{(\mathrm{div},\mathbb{S})} $ の使用が用いられる。
• 解析は、特に残差が離散的試験関数空間に直交することを確認するための新しい補題に依存している。
• 試験関数空間の不連続ガラーキン構造のおかげで、剛性行列がブロック対角となることが示され、局所的逆行列を用いた効率的な解法が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 試行関数から試験関数への作用素 $ T $ が次数 $ r $ の多項式で近似される場合、実用的DPG法の収束率はいかほどか？
• RQ2 試行関数から試験関数への作用素 $ T $ が $ T^r $ で近似されても、理想DPG法の最適収束特性は保持されるか？
• RQ3 ラプラス方程式において、最適収束率を維持するための、近似 $ T^r $ の最小多項式次数 $ r $ は何か？
• RQ4 特に $ T $ が近似される場合に、実用的DPG法における剛性行列の条件数はどのように振る舞うか？
• RQ5 理想DPG法の理論的枠組みは、線形弾性論に対して完全に離散化され、実装可能な実用的バージョンに拡張可能か？

主な発見

• ラプラス方程式に対しては、$ r \geq p + N $ である限り、実用的DPG法でも最適収束率が保持される。ここで $ N $ は空間次元を表す。
• 実用的DPG法の誤差見積もりは準最適であり、誤差は試行関数空間内での最良近似誤差によって上限づけられる。
• 解析により、$ r \geq p + N $ を満たす限り、試行関数から試験関数への作用素 $ T $ の近似 $ T^r $ が収束率を劣化させないことが確認された。
• 超弱変分形式とハイブリッド化のおかげで、各要素で局所的解法により試験関数が計算されても、安定性と最適収束性が維持される。
• 実用的DPG法における剛性行列はブロック対角であるため、効率的な解法手順と良好な条件数が保証される。
• 線形弾性論に対しても、同様に準最適な誤差見積もりが得られ、$ r \geq p + N $ の条件下で成立する。ただし、適合テンソルが要素ごとに定数と仮定する。