[論文レビュー] An analytic approach to infinite-dimensional continuity and Fokker-Planck-Kolmogorov equations

В. И. Богачев, Giuseppe Da Prato+2 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非定数で、場合によっては退化する拡散係数をもつ無限次元Fokker-Planck-Kolmogorov（FPK）方程式を解くための新しい解析的手法を提示する。近似型Holmgren法を導入することで、非退化および完全に退化する場合を含む広範な条件下で、確率的解の存在および一意性に関する新しい結果を確立した。この手法は、有界領域における確率的ナビエ＝ストークス方程式やバーガース方程式などのSPDEへの応用を含む。

ABSTRACT

We prove a new uniqueness result for solutions to Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) equations for probability measures on infinite-dimensional spaces. We consider infinite-dimensional drifts that admit certain finite-dimensional approximations. In contrast to most of the previous work on FPK-equations in infinite dimensions, we include cases with non-constant coefficients in the second order part and also include degenerate cases where these coefficients can even be zero. Also a new existence result is proved. Some applications to Fokker-Planck-Kolmogorov equations associated with SPDEs are presented.

研究の動機と目的

• 非定数かつ退化する拡散係数をもつ無限次元Fokker-Planck-Kolmogorov方程式の確率的解の一意性を確立すること。
• 確率的アプローチとは異なる、完全に解析的な手法を用いて、無限次元設定における存在性および一意性を証明すること。
• 係数のグローバル可積分性の必要性を緩和し、ドリフトの有限次元近似を許容するように、既存の結果を拡張すること。
• 反応拡散方程式や2次元ナビエ＝ストークス方程式などのSPDEに関連するFPK方程式に対する存在結果を提供すること。
• 特に、2次元ナビエ＝ストークスから生じる連続の方程式を含む、退化ケースに対する一般化された条件のもとで一意性を証明すること。

提案手法

• アドジョイント方程式を正確に解くのではなく、近似するという方針に基づく、新しい解析的枠組みを導入。
• 正確な恒等式に代わって、近似アドジョイント方程式の解を用いた部分積分を用いて推移を導出。
• ドリフト成分に対する一様近似的条件を満たす場合、退化ケースでさえも一意性を証明可能である。
• 広範な仮定のもとで、特にすべての次元での確率的ナビエ＝ストークス方程式に対し、定理3.1により解の存在を確立。
• 存在証明において、成長を制御し可積分性を保証するために、リャプノフ型関数 $V$ と重み関数 $\Theta$ を用いる。
• 滑らかな有限個の変数関数上で定義された作用素 $L$ を考えるため、$\mathbb{R}^\infty$ 上の積分位相を対象とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡散行列が非定数で、場合によっては退化する場合、無限次元FPK方程式の解が一意となる条件は何か？
• RQ2 バーガースやナビエ＝ストークス方程式などのSPDEから生じるFPK方程式に対して、確率的解の存在を保証できるか？
• RQ3 無限次元FPK方程式の存在性および一意性を証明する際に、純粋な解析的手法が確率的技法をどのように置き換えることができるか？
• RQ4 ドリフトおよび拡散係数にどのような条件を課すと、解のクラス $\mathcal{P}_\nu$ に正確に1つの元が含まれるようになるか？
• RQ5 近似型Holmgren法は、無限次元における非定数係数および退化係数をもつFPK方程式を扱うために、どの程度一般化可能か？

主な発見

• 非退化FPK方程式に対して、ドリフトに一様近似的条件が成り立つ場合、新たな一意性結果（定理2.3）が得られた。
• 第二の一体性結果（定理2.5）は、完全に退化する連続の方程式を含む退化ケースへと拡張され、2次元ナビエ＝ストークス方程式に関連するものも含む。
• 広範なSPDEのクラスに対して、定理3.1により確率的解の存在が証明された。これには、すべての次元 $d$ における確率的ナビエ＝ストークス方程式が含まれる。
• 2次元ナビエ＝ストークス方程式に対しては、適切なモーメント条件のもとで、$\int_0^{T_0} \int_H (1 + \|\Delta u\|_2^2) e^{\delta\|u\|_{V_2}^2} \, \mu_t(du) \, dt < \infty$ を満たす解 $\mu$ が存在する。
• 系3.6では、ドリフトを有界部と有限個の座標にのみ依存する成分に分解する条件のもとで、一意性が保証され、$V \in L^k(\nu)$ がすべての $k \geq 1$ に対して成り立つ。
• 例3.7では、$\sum \alpha_n \gamma_n < \infty$ および $\sum \beta_n \gamma_n x_n^2$ を重み関数として用いることで、$\sum \alpha_n \gamma_n < \infty$ を満たすオーナイズン＝ウーレンベック型ドリフトに対して、一意性を保証する明示的な条件が提示された。