[論文レビュー] An analytic BPHZ theorem for regularity structures

Ajay Chandra, Martin Hairer|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用数 103

ひとこと要約

この論文は、正規構造内の非線形SPDEsにおける正規化モデルの確率収束について、一般的で自動化されたフレームワークを提示し、ブラックボックス的手法で推定を行い、非ガウス駆動を許容する。

ABSTRACT

We prove a general theorem on the stochastic convergence of appropriately renormalized models arising from nonlinear stochastic PDEs. The theory of regularity structures gives a fairly automated framework for studying these problems but previous works had to expend significant effort to obtain these stochastic estimates in an ad-hoc manner. In contrast, the main result of this article operates as a black box which automatically produces these estimates for nearly all of the equations that fit within the scope of the theory of regularity structures. Our approach leverages multi-scale analysis strongly reminiscent to that used in constructive field theory, but with several significant twists. These come in particular from the presence of "positive renormalizations" caused by the recentering procedure proper to the theory of regularity structure, from the difference in the action of the group of possible renormalization operations, as well as from the fact that we allow for non-Gaussian driving fields. One rather surprising fact is that although the "canonical lift" is of course typically not continuous on any Hölder-type space containing the noise (which is why renormalization is required in the first place), we show that the "BPHZ lift" where the renormalization constants are computed using the formula given in arXiv:1610.08468, is continuous in law when restricted to a class of stationary random fields with sufficiently many moments.

研究の動機と目的

• 正規構造フレームワーク内で一般的な確率収束定理の必要性を動機づける。
• 広範な非線形SPDEに対して自動的に確率推定を得るブラックボックスアプローチを提供する。
• 正規構造における再中心化から生じる正の正規化を多尺度分析に組み込む。
• 非ガウス駆動場と正規化群作用の違いに対処する。
• カノニカルリフトが特定の Hölder 空間で連続でない一方、適切な条件下で BPHZ リフトは法の下で連続であることを示す。

提案手法

• Constructive field theory に似た多尺度解析フレームワークを開発する。
• 正規構造における再中心化からの正の正規化を組み込む。
• 指定された式 [BHZalg] によって計算される BPHZ 正規化定数を利用する。
• 非ガウス駆動場を正規化スキーム内で扱う。
• 十分なモーメントを持つ定常乱数場について法の下の BPHZ リフトの連続性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規構造内の非線形SPDEに対する一般的で自動化された定理が確率収束を保証することができるか？
• RQ2 再中心化から生じる正の正規化と非ガウス駆動場は正規化手続きと極限にどのように影響するか？
• RQ3 広範な定常乱数場について BPHZ リフトは法の下で連続か？
• RQ4 カノニカルリフトと BPHZ リフトの連続性と正規化要件の観点での関係は？

主な発見

• 正規構造内の非線形SPDEsに対する確率収束結果を提供する一般定理。
• 十分なモーメントを持つ定常乱数場について、カノニカルリフトが Hölder 空間の特定で連続でなくても、BPHZリフトは法の下で連続性を示す。
• このフレームワークは非ガウス駆動場と再中心化から生じる正の正規化を適用可能。
• 正規化定数は指定された式に従って計算され、分析をほぼ自動化可能にする。
• 構造はConstructive Field Theoryに似た多尺度分析を用い、正規構造向けの重要な適応を行う。