[論文レビュー] An Analytic Grothendieck Riemann Roch Theorem

Ronald G. Douglas, Xiang Tang+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2014

Holomorphic and Operator Theory参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、バーグマン空間の商空間上のトーベィツ作用素の解析的インデックス理論を構築することで、孤立特異点と境界をもつ複素多様体へのグロタンディーク・リーマン・ロッホ定理の拡張を試みる。特に対象となるのは、多項式環における根の集合が完全交差で、単位球面と横断的に交わる根の集合を持つ極小イデアルの場合である。このとき、イデアルの閉包とその商空間への作用は本質的に正規であり、商作用はコンネス＝シュルン・特徴類を介して境界の基本的類を実現する。これはボーテ・ドゥ・モンヴェルのインデックス定理の一般化である。

ABSTRACT

We extend the Boutet de Monvel Toeplitz index theorem to complex manifold with isolated singularities following the relative $K$-homology theory of Baum, Douglas, and Taylor for manifold with boundary. We apply this index theorem to study the Arveson-Douglas conjecture. Let $\ball^m$ be the unit ball in $\mathbb{C}^m$, and $I$ an ideal in the polynomial algebra $\mathbb{C}[z_1, \cdots, z_m]$. We prove that when the zero variety $Z_I$ is a complete intersection space with only isolated singularities and intersects with the unit sphere $\mathbb{S}^{2m-1}$ transversely, the representations of $\mathbb{C}[z_1, \cdots, z_m]$ on the closure of $I$ in $L^2_a(\ball^m)$ and also the corresponding quotient space $Q_I$ are essentially normal. Furthermore, we prove an index theorem for Toeplitz operators on $Q_I$ by showing that the representation of $\mathbb{C}[z_1, \cdots, z_m]$ on the quotient space $Q_I$ gives the fundamental class of the boundary $Z_I\cap \mathbb{S}^{2m-1}$. In the appendix, we prove with Kai Wang that if $f\in L^2_a(\ball^m)$ vanishes on $Z_I\cap \ball ^m$, then $f$ is contained inside the closure of the ideal $I$ in $L^2_a(\ball^m)$.

研究の動機と目的

• 孤立特異点と境界をもつ複素多様体へのグロタンディーク・リーマン・ロッホ定理の一般化。
• 相対Kホモロジーを用いてボーテ・ドゥ・モンヴェルのトーベィツインデックス定理を特異な境界付き複素多様体へ拡張すること。
• 根の集合が完全交差で、単位球面と横断的に交わるイデアルに対するアーヴェソン＝ダウグラス予想の確立。
• 特定の幾何的条件下で、バーグマン空間内のイデアルの閉包が、その根の集合への制限写像の核に一致することの証明。
• コンネス＝シュルン特徴類を介して、バーグマン空間の商上の商作用が境界のCR多様体の基本的類を実現することの証明。

提案手法

• 境界付き多様体のバーム＝ドーソン＝テイラーの相対Kホモロジー理論を用い、ノイマン境界条件を課した∂̄作用素からKホモロジー類を定義する。
• コンネス＝シュルン特徴類を適用してKホモロジー類と周期的ホモロジー・コホモロジーを関連づけ、非可換的グロタンディーク・リーマン・ロッホの一般化を可能にする。
• スケーリングされた球体上のバーグマン空間とその根の集合との交わりの間で、拡張および制限作用素を構成し、一様な作用素ノルムを保証する。
• 収縮および拡張する球体上の正則関数を用いた極限的議論により、制限写像の核に属する関数を近似する。
• 拡大された正則関数によるネヴァンリンナ型近似を用い、根の集合上で消える関数がイデアルの閉包に属することを示す。
• 相対Kホモロジーにおける境界写像が、∂̄-ノイマン類をCR境界の基本的類へ送ることを確立し、ボーテ・ドゥ・モンヴェルのインデックス定理の一般化を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 根の集合が孤立特異点をもち、単位球面と横断的に交わる場合、バーグマン空間内のイデアルの閉包への多項式代数の作用が本質的に正規のままであるか？
• RQ2 相対Kホモロジーを用いて、特異点と境界をもつ複素多様体への解析的グロタンディーク・リーマン・ロッホ定理を拡張できるか？
• RQ3 バーグマン空間の商上の商作用は、境界CR多様体の基本的類とユニタリ同値か？
• RQ4 バーグマン空間から根の集合への制限写像の核は、バーグマンノルムにおけるイデアルの閉包と一致するか？
• RQ5 商作用のインデックス理論的意味は、コンネス＝シュルン特徴類と境界の基本的類を用いてどのように解釈できるか？

主な発見

• Z_I が完全交差で孤立特異点をもち、∂𝐵^m と横断的に交わるとき、L²_a(𝐵^m) 内のイデアル I の閉包への多項式代数の作用は本質的に正規である。
• Q_I = L²_a(𝐵^m)/cl(I) 上の商作用は、コンネス＝シュルン特徴類を介して、境界 Z_I ∩ ∂𝐵^m の基本的類をKホモロジー類として実現する。
• 与えられた幾何的仮定のもとで、L²_a(𝐵^m) から L²_a,M(Ω_I) への制限写像 R の核は、L²_a(𝐵^m) 内のイデアル I の閉包に一致する。
• Q_I 上のトーベィツ作用素のインデックスは境界の基本的類により計算され、ボーテ・ドゥ・モンヴェルのインデックス定理が特異な状況へ一般化される。
• スケーリングされたバーグマン空間間の拡張および制限作用素は一様に有界であり、正則関数の拡大による近似議論を可能にする。
• L²_a(𝐵^m) 内のイデアル I の閉包は、Z_I ∩ 𝐵^m 上で消える正則関数の空間に正確に一致し、アーヴェソン＝ダウグラス予想の重要なケースが確認される。