[論文レビュー] An analytic index for Lie groupoids

Paulo Carrillo Rouse|ArXiv.org|Dec 15, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、リー群ガロアに新しい解析的インデックス準同型 $\ mathrm{ind}{ a}{ h,k }$ を導入する。この準同型は、余接 bundle の $K$-理論から、群ガロア上のcompactly supported $C^k$-関数から構成される refined $K$-理論群 $K_0^{h,k}(\mathscr{G})$ への写像である。この準同型は接群ガロアを通じた変形によって定義され、循環コサイクルとの明示的ペアリングを可能にし、標準的な $C^*$-解析的インデックスが数値的不変量を抽出するのを妨げる制限を克服する。

ABSTRACT

For a Lie groupoid there is an analytic index morphism which takes values in the $K-$theory of the $C^*$-algebra associated to the groupoid. This is a good invariant but extracting numerical invariants from it, with the existent tools, is very difficult. In this work, we define another analytic index morphism associated to a Lie groupoid; this one takes values in a group that allows us to do pairings with cyclic cocycles. This last group is related to the compactly supported functions on the groupoid. We use the tangent groupoid to define our index as a sort of ''deformation''.

研究の動機と目的

• リー群ガロアのインデックス理論における標準的な $C^*$-解析的インデックスから数値的不変量を抽出することが難しいという問題に対処すること。
• ホモトピー不変性を保ちつつ、循環コサイクルとのペアリングを許容する中間の $K$-理論群 $K_0^{h,k}(\mathscr{G})$ を構成すること。
• well-defined で群値であり、古典的インデックス理論の枠組みと整合する新しい解析的インデックス準同型 $\mathrm{ind}_{a}^{h,k}$ を定義すること。
• $C^\infty_c$-インデックス（循環コサイクルとのペアリングを許容）と $C^*$-インデックス（ホモトピー不変）の間の溝を埋めるために、$C^k$-に基づくホモトピー商を導入すること。

提案手法

• 群 $\mathscr{G}$ 上の $C_c^k(\mathscr{G})$ の $K_0$ を、区間 $[0,1]$ の端点での評価によって誘導されるホモトピー同値関係で割ることで、$K_0^{h,k}(\mathscr{G})$ を定義する。
• コンネスの接群ガロア $\mathscr{G}^T$ を用いて、群ガロア代数の変形を構成し、記号類からインデックスへの連続的経路を可能にする。
• 理想 $J = t \cdot \mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T)$ の $k+q$ 乗 $J^{k+q}$ から $\mathscr{G} \times [0,1]$ 上の $C_c^k$-関数への $K$-理論構造を保存する $\varphi_k: J^{k+q} \to C_c^k(\mathscr{G} \times [0,1])$ を構成する。
• 評価 $e_0$（$t=0$ での評価）で消える $K_0(\mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T))$ の要素が、$K_0^{h,k}(\mathscr{G})$ においてホモトピー的に自明な要素に写される、という事実を証明し、$\mathrm{ind}_{a}^{h,k}$ のwell-defined性を保証する。
• 記号類、$C^\infty_c$-インデックス、$C^*$-解析的インデックス、および新しい $\mathrm{ind}_{a}^{h,k}$ を結ぶ可換図式を確立し、既知のインデックス理論と整合することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー群ガロアに対して、ホモトピー不変性を保ちつつ、循環コサイクルとの明示的ペアリングを許容する精錬された解析的インデックスを構成できるか？
• RQ2 ホモトピー不変性と計算可能性の両方を保つために、$K_0(C_c^\infty(\mathscr{G}))$ と $K_0(C_r^*(\mathscr{G}))$ の間の中間の $K$-理論群をどのように定義できるか？
• RQ3 接群ガロアは、$C^\infty_c$-から $C^*$-への包含写像の非単射性の問題を避ける変形に基づく解析的インデックスを定義するために果たす役割は何か？
• RQ4 接群ガロア上で $t=1$ での評価によって構成された新しいインデックス準同型 $\mathrm{ind}_{a}^{h,k}$ は well-defined か？また、古典的解析的インデックスとはどのように関係するか？

主な発見

• $\mathrm{ind}_{a}^{h,k}: K_0(A^*\mathscr{G}) \to K_0^{h,k}(\mathscr{G})$ は well-defined であり、$C_c^k(\mathscr{G})$ 上のホモトピー同値関係を尊重するため、群準同型であることが保証される。
• この構成は、$\mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T)$-関数のテイラー展開性質に依存しており、理想 $J = t \cdot \mathscr{S}_{r,c}(\mathscr{G}^T)$ が $C^k$-準同型 $\varphi_k$ を通じて $J^{k+q}$ と関連づけられることを可能にする。
• $\varphi_k: J^{k+q} \to C_c^k(\mathscr{G} \times [0,1])$ は、$t=0$ で消える $K$-理論準同型を誘導する。これは、$\ker(e_0)$ に属する要素が $K_0^{h,k}(\mathscr{G})$ においてホモトピー的に自明な要素に写されることを意味し、$\mathrm{ind}_{a}^{h,k}$ の主要な well-defined 性条件を満たす。
• 新しいインデックス $\mathrm{ind}_{a}^{h,k}$ は、古典的記号類および解析的インデックス写像を結ぶ可換図式に適合しており、既存のインデックス理論と整合することが確認される。
• $K_0^{h,k}(\mathscr{G})$ は循環コサイクルとのペアリングを許容するため、標準的な $C^*$-解析的インデックスでは得られない数値的不変量の抽出が可能になる。