[論文レビュー] An analytic technique for the solutions of nonlinear oscillators with damping using the Abel Equation

A. Ghose‐Choudhury, Partha Guha|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2016

Fractional Differential Equations Solutions被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一般化されたリッカティ方程式を1階のアベル方程式に還元し、チエルニ統合可能性条件を適用することにより、非線形減衰振動子のクラスを解析的に解く手法を提示する。$α \geq 2\sqrt{2(n+1)}$ の条件下で、系 $ωω x + \alpha x^{2n+1}\dot{x} + x^{4n+3} = 0$ の明示的な閉形式解が導出され、これにより、従来の数値的予想である周期的から非周期的への遷移および同周期性に関する解析的確認がなされた。

ABSTRACT

Using the Chiellini condition for integrability we derive explicit solutions for a generalized system of Riccati equations $\ddot{x}+αx^{2n+1}\dot{x}+x^{4n+3}=0$ by reduction to the first-order Abel equation assuming the parameter $α\ge 2\sqrt{2(n+1)}$. The technique, which was proposed by Harko extit{et al}, involves use of an auxiliary system of first-order differential equations sharing a common solution with the Abel equation. In the process analytical proofs of some of the conjectures made earlier on the basis of numerical investigations in \cite{SJKB} is provided.

研究の動機と目的

• 非線形減衰振動子における周期的運動から非周期的運動への遷移に関する数値的予想に対する解析的証明を提供すること。
• チエルニ統合可能性条件の適用範囲を、特に一般化されたリッカティ型方程式を含む高次非線形系へと拡張すること。
• 非線形減衰力と強い非線形性を有する復元力を持つ非線形振動子のクラスに対する明示的な閉形式解を導出すること。
• Liénard型系 $\ddot{x} + (2n+3)x^{2n+1}\dot{x} + x^{4n+3} + w_0^2x = 0$ における同周期的振動の予想を解析的手法を用いて検証すること。

提案手法

• 変数変換 $\dot{x} = 1/v$ を用いて、2階非線形振動子方程式を第1種の1階アベル方程式に還元すること。
• 積分因子 $\exp(-\int g_2(x)dx)$ を用いて、アベル方程式を標準形 $du/dx = A(x)u^2 + B(x)u^3$ に変換すること。
• 定数 $s$ を用いたチエルニ統合可能性条件 $d/dx(B/A) = sA(x)$ を適用し、四則演算による正確な可解性を保証すること。
• 条件 $\alpha \geq 2\sqrt{2(n+1)}$ の下で、還元されたアベル方程式の積分により明示的解を導出すること。
• アベル方程式と共通解を持つ補助的一階常微分方程式系を用いて、積分を容易にする。
• 変数分離および変換技術を用いて、Liénard型方程式 $\ddot{x} + f(x)\dot{x}^{n+1} + g(x)\dot{x}^n = 0$ の高次方程式へのチエルニ条件の一般化を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形振動子 $\ddot{x} + \alpha x^{2n+1}\dot{x} + x^{4n+3} = 0$ における周期的運動から非周期的運動への遷移の背後にある解析的メカニズムは何か？
• RQ2 系 $\ddot{x} + (2n+3)x^{2n+1}\dot{x} + x^{4n+3} + w_0^2x = 0$ における同周期的振動の数値的予想を、厳密に証明できるか？
• RQ3 チエルニ統合可能性条件は、Liénard型方程式における高次非線形減衰項へどのように拡張されるか？
• RQ4 臨界減衰閾値 $\alpha_c = 2\sqrt{2(n+1)}$ は、系の定性的な挙動を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 条件 $\alpha \geq 2\sqrt{2(n+1)}$ の下で、系 $\ddot{x} + \alpha x^{2n+1}\dot{x} + x^{4n+3} = 0$ は、アベル方程式への還元とチエルニ条件の適用により、明示的な閉形式解を有する。
• 臨界値 $\alpha_c = 2\sqrt{2(n+1)}$ は、アベル方程式における3次式の判別式が0に等しくなる閾値を示しており、周期的から非周期的への遷移を示唆している。
• $\alpha = 2n+3$ かつ $w_0 \neq 0$ の場合、解は周期的かつ同周期的であり、Liénard系における同周期性のサバティーニ基準を満たすことで確認された。
• $\alpha = 2n+3$ かつ $w_0 = 0$ の場合、解は特異的であり、有限時間で発散する。具体的には $x \propto [(t_0 \mp t)^{-1}]^{1/(2n+1)}$ の形を取る。
• $\alpha = 2n+3$, $w_0 = 1$ の場合、解は超幾何関数 ${}_2F_1$ を用いて表現可能であり、解析的扱いの可能性を裏付けた。
• 一般化されたチエルニ条件 $\left(\frac{g}{f}\right)' = K \left(\frac{g^n}{f^{n-1}}\right)$ により、$\dot{x}^{n+1}$ および $\dot{x}^n$ の減衰項を有する高次Liénard方程式の正確な積分が可能となった。