[論文レビュー] An analytical condition for the violation of Mermin's inequality by any three qubit state

Satyabrata Adhikari, A. S. Majumdar|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2016

Quantum Information and Cryptography被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、状態の相関テンソルから構築された対称行列の固有値を用いて、メルミン演算子の期待値の最大値を表現することにより、3キュービット系におけるメルミン不等式の最大違反に対する解析的公式を導出する。従来の数値的手法とは異なり、測定設定の最適化を必要とせず、純粋状態および混合状態の両方に対して非局所性違反を直接決定可能であり、主な結果はGHZ、Wおよび混合状態で検証されている。

ABSTRACT

Mermin's inequality is the generalization of the Bell-CHSH inequality for three qubit states. The violation of the Mermin inequality guarantees the fact that there exists quantum non-locality either between two or three qubits in a three qubit system. In the absence of an analytical result to this effect, in order to check for the violation of Mermin's inequality one has to perform a numerical optimization procedure for even three qubit pure states. Here we derive an analytical formula for the maximum value of the expectation of the Mermin operator in terms of eigenvalues of symmetric matrices, that gives the maximal violation of the Mermin inequality for all three qubit pure and mixed states.

研究の動機と目的

• 3キュービット系におけるメルミン不等式の最大違反を閉形式の解析的基準として提供すること。
• 非局所性を評価する際の測定方向に関する数値最適化の必要性を排除すること。
• 当初2キュービットに特化して開発されたホロデツキ型の固有値に基づくアプローチを3キュービット系に拡張すること。
• 純粋状態および混合状態の両方に適用可能な統一的な条件を導出すること。
• 既知のエンタングル状態（GHZ、W、混合重ね合わせなど）に対して、手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• 状態の相関テンソル tijk と測定ベクトル a_j, b_j を含む多線形形式として、メルミン演算子 ⟨BM⟩ρ の期待値を導出する。
• 最大違反を、パウリ相関成分から構築された対称行列 T^T_x T_x, T^T_y T_y, T^T_z T_z の最大固有値の関数として表現する。
• 測定方向に関する変分最適化を、これらの対称行列の固有値最大化問題に還元することで実行する。
• メルミン演算子期待値の最大値が、状態の相関構造から導かれる3つの対称行列の最大固有値によって決定されることを活用する。
• それぞれの対称行列の最大固有値を評価することにより、純粋状態および混合状態の最大 ⟨BM⟩ρ を直接計算する。
• GHZ状態およびW状態における既知の数値結果と比較することで、解析的結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の3キュービット状態（混合状態を含む）におけるメルミン不等式の最大違反の解析的条件は何か？
• RQ2 測定設定に関する数値最適化を一切行わずに、メルミン演算子期待値の最大値をどのように計算できるか？
• RQ3 対称相関行列 T^T_i T_i の固有値が、3キュービット系における非局所性をどのように決定するか？
• RQ4 W状態混合状態などの混合状態におけるパラメータの範囲で、メルミン不等式が最大で違反するのはどの範囲か？
• RQ5 解析的公式は、GHZおよびW状態といった代表的な状態に対して、既知の結果を再現できるか？

主な発見

• W状態混合状態 |Ψ⟩W,S において、0.43 ≤ p ≤ 0.45 の範囲では ⟨Bmax_M⟩ρ = 2√λ_max_x が成立し、0.45 ≤ p ≤ 1 では ⟨Bmax_M⟩ρ = 2√λ_max_z が成立し、違反は 0 ≤ p ≤ 0.25 の範囲で発生する。
• 混合状態 ϱ = p|GHZ⟩⟨GHZ| + (1−p)|W⟩⟨W| に対して、0 ≤ p ≤ 0.43 の範囲では ⟨Bmax_M⟩ϱ = 4(1−p) が成立し、0.43 ≤ p ≤ 1 の範囲では ⟨Bmax_M⟩ϱ = 4√(4/9 − 8/9 p + 13/9 p²) が成立し、すべての p ∈ [0,1] で違反が発生する。
• W状態混合状態の T^T_x T_x, T^T_y T_y, T^T_z T_z の最大固有値は、λ_max_x = (1−p)(4/9 + 2/9 p + 2/9 √(12p − 3p²)) として明示的に計算されている。
• 本手法は、W状態混合状態が p ≤ 0.25 の範囲でのみメルミン不等式を違反することを再現しており、従来の数値的解析と整合的であることを確認している。
• 解析的公式により、反復的最適化を経ることなく最大違反を直接計算可能であり、計算コストを顕著に低減できる。
• 導出された条件は、任意の3キュービット純粋状態および混合状態に普遍的に適用可能であり、非局所性検出の一般基準を提供する。