[論文レビュー] AN ANDREOTTI-GRAUERT THEOREM WITH $L^r$ ESTIMATES.

Éric Amar|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ステイン多様体上でのアンドレオッティ＝グラーヴァー定理の $L^r$-推定値版を確立し、コンパクトな台を持つ $ar{\partial}$-閉 $(p,q)$-カレント $ω$ が $\omega \in L^r$ を満たす場合、$\bar{\partial}u = \omega$ を満たす解 $u$ が $u \in L^r$ かつコンパクトな台を持つことを証明する。証明はセール双対性と重み付き $L^r$ 推定値を用い、係数の微分に関する追加の $L^r$ 条件を排除することで、以前の結果を拡張する。

ABSTRACT

By a theorem of Andreotti and Grauert if $\\omega $ is a $(p,q)$ current, $q < n,$ in a Stein manifold $\\displaystyle \\Omega ,\\ \\bar \\partial $ closed and with compact support, then there is a solution $u$ to $\\bar \\partial u=\\omega $ still with compact support in $\\displaystyle \\Omega .$ The main result of this work is to show that if moreover $\\displaystyle \\omega \\in L^{r}(m),$ where $m$ is a suitable Lebesgue measure on the Stein manifold, then we have a solution $u$ with compact support {\\sl and} in $L^{s}(m),\\ \\frac{1}{s}=\\frac{1}{r}-\\frac{1}{2(n+1)}.$ We prove it by estimates in $L^{r}$ spaces with weights.

研究の動機と目的

• ステイン多様体上でのコンパクト台付きデータを用いた $\bar{\partial}$-方程式の $L^r$-推定値を確立すること。
• コロナ法を用いた先行研究で要請されていた係数の微分に関する追加の $L^r$ 条件を排除すること。
• 有界な領域における $\mathbb{C}^n$ 上の $L^r$-正則性結果を一般のステイン多様体へ一般化すること。
• 領域の $r'$-正則性仮定が弱いかぎりで、$\bar{\partial}u = \omega$ を満たすコンパクト台付き $L^r$ 解の存在を示すこと。
• 非構成的ではあるが一般性のある $L^r$-推定値を達成するために、$L^r$ 空間におけるセール双対性と双対性議論を用いること。

提案手法

• ステイン多様体内の領域に対して、$L^r$ 範囲での三段階の分解を用いて定義される弱 $r'$-正則性の概念を導入する。
• セール双対性と $L^r$ と $L^{r'}$ 空間の双対性を用いて、$\bar{\partial}$-閉形式を双対空間内のカレントに関連付ける。
• $\left(L_{p,q}^r(\Omega)\right)^* = L_{n-p,n-q}^{r'}(\Omega)$ を用いて、$L^r$-形式上の連続線形汎関数を特徴付ける。
• ホルダーの不等式と双対ノルムを用いて、解 $u$ の $L^r$ ノルムをデータ $\omega$ のノルムによって上から抑える。
• 領域の弱 $r'$-正則性と双対性議論を活用することで、$L^r$ に有界な解 $u$ の存在に依存する。
• $L^r$-有界性が、双対空間上の関連する線形汎関数の有界性と同値であるという事実を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ステイン多様体上での $\bar{\partial}$-方程式 $\bar{\partial}u = \omega$ は、コンパクト台付きの $\bar{\partial}$-閉 $(p,q)$-カレント $\omega$ が $L^r$ に属する場合、$u \in L^r$ かつコンパクト台を持つ解をもつだろうか？
• RQ2 $\omega$ の係数の微分に関する追加の $L^r$ 条件を要求しないで、解 $u$ の $L^r$-有界性は成立するだろうか？
• RQ3 双対性に基づく手法を用いて、$\mathbb{C}^n$ 内の領域の $L^r$-正則性を一般のステイン多様体へ拡張できるだろうか？
• RQ4 弱 $r'$-正則性は、コンパクト台付きの $\bar{\partial}$-解の $L^r$-推定値を保証するために十分だろうか？
• RQ5 明示的な積分核が存在しない状況で、セール双対性を用いて $\bar{\partial}$-解の非構成的 $L^r$-推定値を確立できるだろうか？

主な発見

• 主な結果として、ステイン多様体内の領域 $\Omega$ が弱 $r'$-正則であれば、任意の $\bar{\partial}$-閉な $\omega \in L^r_c(\Omega)$ に対して、$1 < r \leq \infty$ であれば、$\bar{\partial}u = \omega$ を満たす解 $u \in L^r_c(\Omega)$ が存在することを示した。
• 弱 $r'$-正則性の仮定の下で、ある正の定数 $C > 0$ が存在し、$\|u\|_{L^r} \leq C \|\omega\|_{L^r}$ を満たす。この $C$ は $\omega$ に依存しない。
• 証明はコロナ法を避け、代わりに双対性と重み付き $L^r$ 推定値を用いるため、非構成的ではあるがより一般性がある。
• $\bar{\partial}$-閉性の下で $q < n$ の場合、および $q = n$ の場合に、正則 $(n-p,0)$-形式への直交性条件を追加することで成立する。
• $L^r$ と $L^{r'}$ 空間の双対性を用いて、$L^r$-形式の双対を補完的バイデグリーの $L^{r'}$-形式として特徴付ける。
• 本稿は、$r$-正則性と弱 $r'$-正則性が、ステイン多様体上でのコンパクト台付き $\bar{\partial}$-解の $L^r$-推定値に十分な条件であることを確認した。