[論文レビュー] An anticipating It's formula for L'evy processes

Josep Vives|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、マリヤン・カレンスを用いて、将来の勾配作用素の定義域を活用することで、非適応過程への古典的変位測度公式の拡張を図る、Lévy過程における予測的Itôの公式を構築する。主な貢献は、すべての適応的・二乗可積分過程（フィルトレーションに従わないものも含む）に適用可能な一般化された予測的公式の確立である。

ABSTRACT

In this paper, we use the Malliavin calculus techniques to obtain an anticipative version of the change of variable formula for Levy processes. Here the coefficients are in the domain of the anihilation (gradient) operator in the future sense, which includes the family of all adapted and square-integrable processes. This domain was introduced on the Wiener space by Alos and Nualart.

研究の動機と目的

• Lévy過程における予測的設定への古典的Itôの公式の拡張を図ること。
• 標準的Itôの公式が適応過程を要件としているという制限を克服すること。
• マリヤン・カレンスの技術を用いて、将来志向の観点から変数変換公式を定義すること。
• Lévy過程の文脈において、勾配作用素の定義域を特徴づけ、ウィーナー空間における既存の結果を一般化すること。

提案手法

• ウィーナー空間におけるマリヤン・カレンスを用いて、予測的過程の勾配作用素の定義域を定義する。
• 将来志向の勾配作用素を適用することで、適応的過程を超えてすべての二乗可積分過程を含む定義域を拡張する。
• 発散作用素と予測的積分を組み合わせることで、予測的変数変換公式を導出する。
• 勾配作用素の定義域に属する係数に対して公式の有効性を確立する。この定義域にはすべての適応的・二乗可積分過程が含まれる。
• Lévy過程の構造とマリヤン・カレンスの性質を活用して、ジャンプや不連続性に対処する。
• 予測的公式が、適応的状況において古典的Itôの公式に還元されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lévy過程の文脈において、古典的Itôの公式を非適応過程へどのように拡張できるか。
• RQ2 Lévy過程における予測的確率積分を可能にする適切な勾配作用素の定義域は何か。
• RQ3 マリヤン・カレンスを用いて、予測的係数を含む変数変換公式を一般化できるか。
• RQ4 過程が適応的である場合、予測的公式はどのように標準的Itôの公式に還元されるか。
• RQ5 将来志向の微積分が、ジャンプ・ドリフト過程および純粋ジャンプLévy過程における確率積分に与える影響は何か。

主な発見

• Lévy過程における予測的Itôの公式が、将来志向の勾配作用素の定義域に属する係数に対して導出された。
• 勾配作用素の定義域にはすべての適応的・二乗可積分過程が含まれており、公式の適用範囲が適応的過程を超えて拡張された。
• マリヤン・カレンスの技術を用いて予測的積分を統合することで、古典的Itôの公式が一般化された。
• Lévy過程の文脈において、非適応被積分関数を伴う確率積分の厳密なフレームワークが提供された。
• 既知のウィーナー空間に関する結果と整合的であり、より一般化されたLévy過程の設定へと拡張された。
• このアプローチにより、Lévy過程に駆動される予測的確率微分方程式の解析が可能になった。