[論文レビュー] An Anzellotti type pairing for divergence-measure fields and a notion of weakly super-$1$-harmonic functions

Christoph Scheven, Thomas Schmidt|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、特定の代表的関数 $u^+$ を用いて、発散測度場と BV 関数の勾配の間の新しいアンツェロッティ型ペアリングを導入し、${\mathcal{H}}^{n-1}$-a.e. で定義される $u^+$ によって、弱い上位1-調和関数の定義が一貫性を保つようにしている。主な貢献は、修正されたペアリングを用いて境界データを組み込んだ 1-Laplace 方程式の弱い上位解の新しい概念の導入であり、弱*収束下での安定性を示すコンパクト性結果が得られている。

ABSTRACT

We study generalized products of divergence-measure fields and gradient measures of { m BV} functions. These products depend on the choice of a representative of the { m BV} function, and here we single out a specific choice which is suitable in order to define and investigate a notion of weak supersolutions for the $1$-Laplace operator.

研究の動機と目的

• 1-Laplace 方程式の BV 桁組みにおける弱い上位解の定義を、一貫性があり安定するものとする。
• 関数が ${\mathcal{H}}^{n-1}$-零集合を除いて定義されるという点で、発散測度場と BV 関数のペアリングにおける曖昧さを解消するため、特定の代表的関数 $u^+$ を選択する。
• 境界データを含む 1-調和関数の理論を、修正された境界上でのペアリングを用いて上位解へと拡張する。
• 自然な収束仮定の下で、弱い上位1-調和関数の列に対してコンパクト性を確立する。

提案手法

• BV 関数 $u$ の新しい代表的関数 $u^+$ を定義し、それが減少境界上で ${\mathcal{H}}^{n-1}$-a.e. に定義されることで、発散測度場とのペアリングの一貫性を保証する。
• ${\mathcal{DM}}^{\infty}_{\rm loc}(\Omega, \mathbb{R}^n)$ に属する $\sigma$ と ${\rm BV}_{\rm loc}(\Omega) \cap {\rm L}^\infty_{\rm loc}(\Omega)$ に属する $u$ に対して、一般化されたペアリング $\llbracket\sigma, {\rm D}u^+\rrbracket$ を定義し、符号付きレドン測度をもたらす。
• 境界データ $u_0 \in {\rm W}^{1,1}(\Omega) \cap {\rm L}^\infty(\Omega)$ を組み込むために、境界上でのペアリング $\llbracket\sigma, {\rm D}u^+\rrbracket_{u_0}^*$ を構築する。
• ある $\sigma \in S^\infty(\Omega, \mathbb{R}^n)$ に対して ${\rm div}\,\sigma \leq 0$ が成り立つとき、$\overline{\Omega}$ 上で $\llbracket\sigma, {\rm D}u^+\rrbracket_{u_0}^* = |{\rm D}_{u_0}u|$ を満たすことで、弱い上位1-調和関数を定義する。
• $|{\rm div}\,\sigma|$ が ${\mathcal{H}}^{n-1}$ に関して絶対連続であることを利用して、ペアリングが適切に定義され、収束下でも安定することを保証する。
• 収束仮定の下で、弱い上位1-調和関数の増加列の極限が、再び弱い上位1-調和関数であることを示すコンパクト性結果（定理 5.2）を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数が ${\mathcal{H}}^{n-1}$-零集合を除いて定義される場合、発散測度場と BV 関数の間で一貫性があり安定したペアリングをどのように定義できるか？
• RQ2 一般化されたペアリングが適切に定義され、物理的に意味を持つようにするための BV 関数の適切な代表的関数は何か？
• RQ3 BV 桁組みにおいて、1-Laplace 方程式の上位解の概念をディリクレ境界条件を含む形にどのように拡張できるか？
• RQ4 自然な収束仮定の下で、弱い上位1-調和関数の列に対してどのようなコンパクト性の性質が成り立つか？
• RQ5 解の境界挙動は、$\partial\Omega$ におけるベクトル場 $\sigma$ の法線成分 $\sigma_n^*$ とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿では、減少境界上で ${\mathcal{H}}^{n-1}$-a.e. に定義される新しい代表的関数 $u^+$ を導入し、発散測度場との一般化されたペアリングの一貫性を保証している。
• 一般化されたペアリング $\llbracket\sigma, {\rm D}u^+\rrbracket$ は適切に定義されており、符号付きレドン測度をもたらし、弱い上位1-調和関数の定義を可能にしている。
• 境界データ $u_0$ を組み込むために、修正された境界上ペアリング $\llbracket\sigma, {\rm D}u^+\rrbracket_{u_0}^*$ が構築されている。
• 弱い上位1-調和関数の定義における境界条件は、$u_{\partial\Omega}^{\rm int} < (u_0)_{\partial\Omega}^{\rm int}$ を満たす集合上で ${\mathcal{H}}^{n-1}$-a.e. で $\sigma_n^* \equiv -1$ に等価である。
• 定理 5.2 はコンパクト性結果を確立している：境界データが強い $W^{1,1}$ 収束および弱* $L^\infty$ 収束し、関数自身が弱*収束する条件下で、弱い上位1-調和関数の増加列の極限は、再び弱い上位1-調和関数である。
• この結果は、境界値を変更しても、$u$ のトレースが越えられない限り、上位解の性質に影響を及ぼさないことを示しており、1次元の場合と整合的である。