[論文レビュー] An Application of a Log Version of the Kodaira Vanishing Theorem to Embedded Projective Varieties

Aaron Bertram|ArXiv.org|Jul 1, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、埋め込まれた射影的多様体における理想層のべきの消滅閾値 $ e_Y $ の上界を改善するために、Kodaira の消滅定理の対数版を適用する。行列の小行列式やPfaffianから対数正則な超曲面を構成することで、特に行列式多様体や高次元曲線に対して、従来の結果よりも鋭い上界を確立する。ブ low-up と対数正則なペアにおける消滅定理を用いる。

ABSTRACT

Given an embedded smooth projective variety Y in CP^n, we show how the existence of a hypersurface with high multiplicity along Y, but of relatively low degree and log canonical near Y implies vanishing of higher cohomology for certain twists of powers of the ideal sheaf of Y. This is applied to get rather non-trivial vanishing in case Y is a universal determinantal variety (i.e. quadratic Veronese, Segre embedding or Grassmannian of P^1's) or a curve embedded by a complete linear series of high degree. The key in the determinantal cases is to use the theory of complete objects. While the theories of complete quadrics and linear maps yield the desired results, a corresponding theory of complete skew forms seems not have been previously worked out. The desired results are obtained in an appendix.

研究の動機と目的

• 理想層の高次のべきが正の次数で消える閾値 $ e_Y $ の上界を精緻化すること。
• 通常の交わりを越えて、より豊かな幾何的構造を持つ埋め込み多様体に対して、Kodaira消滅定理を対数正則な設定へ拡張すること。
• この一般化された消滅定理を、Segre, Veronese, Pl"ucker などの行列式多様体および高次元曲線に適用し、古典的手法よりも鋭い上界を得ること。
• 完全線形系列による埋め込みを受けた曲線に対して、$ e_Y \leq 1 $ が普遍的に成り立つかどうかを検討すること、特に genus 0 および 1 の場合に注目する。
• $ e_Y $ が Castelnuovo-Mumford 正則性と整合するかを検討し、対数最小モデルプログラムにおける flip を用いたより鋭い結果が得られるかを調査すること。

提案手法

• Y に沿って $ \mathbb{P}^n $ をブローアップした多様体上で、Y に高次の重複度を持つ対数正則な除数 $ F $ を用いて、Nadel の対数版Kodaira消滅定理を適用する。
• F を線形形式の行列から得られる、サイズを増加させる小行列式またはPfaffianの組み合わせとして構成し、弱い特異性と低次の多項式を保証する。
• Kollár に帰属するBertini型性質を用いて、ブローアップ上での一般の滑らかさと特異点の制御を保証する。
• 退化点集合 $ \Delta_{r,V} $ の再帰的ブローアップを用いて特異点を解消し、正規交叉特異点を持つ滑らかな多様体を構成する。
• Eulerの完全列と層写像を用いて正規束を計算し、ブローアップ上での誘導写像が埋め込みであることを検証する。
• ブローアップからの射を介して、対数正則ペアからの消滅結果を元の多様体へと戻す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対数Kodaira消滅定理は、古典的な $ e_Y \leq d_1 + \cdots + d_r - n $ よりも、$ e_Y $ の上界を改善できるか？
• RQ2 小行列式またはPfaffianから構成された対数正則な除数は、理想層のべきにおける高次のコホロロジーの消滅にどのように影響するか？
• RQ3 Segre, 対称的、歪グラスマン多様体埋め込みなどの普遍的行列式多様体における $ e_Y $ の鋭い上界は何か？
• RQ4 完全線形系列による埋め込みを受けた genus 0 や 1 の曲線に対して、$ e_Y \leq 1 $ が成り立つか？
• RQ5 flip を用いた対数最小モデルプログラムと一般化された消滅定理を組み合わせることで、$ e_Y $ の消滅パターンを Castelnuovo-Mumford 正則性と整合させられるか？

主な発見

• Segre埋め込み $ Y = \mathbb{P}(V) \times \mathbb{P}(W) $ に対して、$ e_Y \leq -1 $ を達成し、古典的な $ e_Y \leq 2r - n $ よりも改善された。
• 対称Veronese埋め込み $ Y = \mathbb{P}(V) $ に対して、$ e_Y \leq 0 $ を確立し、再び古典的推定値を上回る。
• G(2,V) のPl"ucker埋め込みに対して、$ e_Y \leq -3 $ を得ており、歪な場合におけるPfaffian構成の有効性を示している。
• genus 0 または 1 の曲線、あるいは $ > \frac{8g+2}{3} $ の次数の曲線に対して、$ e_Y \leq 1 $ が成り立ち、予想されたパターンを確認した。
• 次数 $ \geq 2g+3 $ の曲線に対して、線形系列のギャップがあっても $ e_Y \leq 1 $ が成り立つが、高 genus の場合はまだ最適でない。
• 本手法により、射影空間および豊富な線分束に対して $ e_Y \leq 1 $ が成り立つことが確認され、完全線形系列埋め込みにおいてこの上界が普遍的であるという予想を支持する。