[論文レビュー] An Application of Stochastic Flows to Riemannian Foliations

Alan Gregory Mason|ArXiv.org|Dec 18, 1998

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、コンパクトなリーマン的フォリエーションの正規直交フレーム bundle に確率的フローを適用し、基本関数および基本形式を保存する生成作用素を有する拡散過程を構成する。作用素 $A^*$ に対して $A^*\phi = 0$ を満たす一意的な正の滑らかな関数 $\phi$ の存在を証明し、これを用いて計量を摂動し、平均曲率の基本的射影を基本的調和にすることを確立する。確率的エルゴード理論を用いて幾何的条件を確立する。

ABSTRACT

A stochastic flow is constructed on a frame bundle adapted to a Riemannian foliation on a compact manifold. The generator A of the resulting transition semigroup is shown to preserve the basic functions and forms, and there is an essentially unique strictly positive smooth function phi satisfying A^* phi = 0. This function is used to perturb the metric, and an application of the ergodic theorem shows that there exists a bundle-like metric for which the basic projection of the mean curvature is basic-harmonic.

研究の動機と目的

• 適切に調整されたフレームバンドルを用いて、Eells–Elworthy の確率的構成をリーマン的フォリエーションに拡張すること。
• 確率的フローによって生成される移動半群が、基本関数および基本形式を保存することを示すこと。
• 生成作用素 $A$ に対して $A^*\phi = 0$ を満たす一意的な正の滑らかな関数 $\phi$ の存在を確立すること。
• $\phi$ を用いて計量を摂動し、平均曲率の基本的射影が調和的になるようにすること。
• エルゴード定理が、基本部分の平均曲率が調和的であるようなバンドル型計量の存在を示すこと。

提案手法

• 計量を保存するアフィン接続 $\nabla^\oplus$ に関連する標準的水平ベクトル場 $Y_i$ を用いて、正規直交フレームバンドル $\mathcal{O}(M)$ 上に確率的フローを構成する。
• 半群 $S_t$ の生成作用素 $A = \frac{1}{2}\Delta + b$ を定義する。ここで $b$ は接続に由来するドリフト場である。
• フォリエーション構造を保つために、フローを ${}^{\mathcal{F}}\mathcal{O}(M)$ に制限する。
• 補題 3.4 を用いて、完全なフローがフォリエーションを尊重しないにもかかわらず、横断的半群 $T_t$ が基本関数を保存することを示す。
• 不変測度に付随する $\phi$ を用いてエルゴード定理を適用し、$\lim_{t\to\infty} S_t f(z) = \int_M f\,d\mu$ を示す。ここで $\mu$ は密度 $\phi$ を持つ確率測度である。
• $\phi$ の存在を用いて計量を摂動し、$\delta_{\text{b}}\kappa = 0$ すなわち平均曲率の基本的射影が調和的になるようにすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フレームバンドル上の確率的フローは、リーマン的フォリエーションの幾何的不変量を構成するために用いることができるか？
• RQ2 生成作用素 $A$ に対して $A^*\phi = 0$ を満たす正の滑らかな関数 $\phi$ が存在するか？
• RQ3 $\phi$ を用いて計量を摂動し、平均曲率の基本的射影を調和的にすることができるか？
• RQ4 半群 $S_t$ が基本関数を保存するのは、確率的フロー構造の結果であると見なせるか？そして、確率的手法を用いずにこれを証明できるか？
• RQ5 関数 $\phi$ の基本的部分が定数であるような条件は何か？そしてこれはフォリエーションの幾何にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 一意的（スケーリングを除いて）に、$A^*\phi = 0$ を満たす正の滑らかな関数 $\phi$ が存在する。
• 完全なフローがフォリエーション構造を尊重しないにもかかわらず、半群 $S_t$ は基本関数および基本形式を保存する。
• 横断的半群 $T_t$ は、基本関数において $S_t$ と一致する。すなわち、すべての基本関数 $f$ に対して $S_t f = T_t f$ が成り立つ。
• エルゴード定理により、$\lim_{t\to\infty} S_t f(z) = \int_M f\,d\mu$ が成り立つ。ここで $\mu$ は密度 $\phi$ を持つ確率測度である。
• 計量を $\phi$ を用いて摂動することで、基本的射影の平均曲率が調和的であるようなバンドル型計量が存在する。すなわち $\delta_{\text{b}}\kappa = 0$ が成り立つ。
• もし $h(t) = (dt, \kappa)$ が恒等的にゼロでないならば、$h(t)/C = d\mu_L/d\mu$ が成り立つ。ここで $C \neq 0$ ならば、すべての $t$ に対して $h(t) > 0$ である。