[論文レビュー] An approach of the Minimal Model Program for horospherical varieties via moment polytopes

Boris Pasquier|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、${\mathbb{Q}}$-Gorensteinで、射影的ホロスフィカル多様体に対する最小モデルプログラム（MMP）を、モーメント多面体の連続的変形を用いた凸幾何的アプローチで提示する。アーモニック・カーティエ除 canonical divisor $K_X$ の計算の困難さを克服するため、モーメント多面体を計算的ツールとして用いる。各MMPステップ（反転、モーリー・ファイブレーションなど）を明示的に記述可能であり、nef錐 $NE(X)$ の直接計算を必要としない。この方法により、リードのトーリックMMPを一般化し、ブリオンの球面的多様体に関する研究を完成させる。

ABSTRACT

We describe the Minimal Model Program in the family of $\\mathbb{Q}$-Gorenstein projective horospherical varieties, by studying a family of polytopes defined from the moment polytope of a Cartier divisor of the variety we begin with. In particular, we generalize the results on MMP in toric varieties due to M. Reid, and we complete the results on MMP in spherical varieties due to M. Brion in the case of horospherical varieties.

研究の動機と目的

• ${\mathbb{Q}}$-Gorensteinで、射影的なホロスフィカル多様体への最小モデルプログラム（MMP）を拡張すること。これは、トーリック多様体や球面的多様体を一般化するクラスである。
• 球面的多様体におけるnef錐 $NE(X)$ および canonical divisor $K_X$ の計算の困難さを、モーメント多面体を計算的ツールとして用いることで克服すること。
• アーモニック・カーティエ除 canonical divisor の選択から出発し、各MMPステップ（反転、除的収縮、モーリー・ファイブレーション）を明示的かつアルゴリズム的に記述すること。
• リードのトーリックMMPの結果を一般化し、ブリオンの球面的多様体に関する研究を完成させるために、ホロスフィカル多様体のMMPを明示的な多面体に基づく構成で確立すること。

提案手法

• 本手法は、ホロスフィカル多様体 $X$ 上のアーモニック・カーティエ除 canonical divisor のモーメント多面体から、一意のパラメータ族 $ (Q^\epsilon)_{\epsilon \geq 0} $ のモーメント多面体を構成する。
• 各 $Q^\epsilon$ は元の多面体の変形に対応し、凸幾何学を用いて多様体の双有理変換を符号化する。
• 多面体構造の進化、特に頂点、辺、面の変化は、MMPにおける曲線および除的の収縮を追跡する。
• 本手法は、$G$--equivariantな準同型写像と多面体変換の対応を用い、各ステップでの多様体および写像の明示的構成を可能にする。
• 反転は、多面体が非頂点構成から頂点構成に変化する遷移を検出することで特定される。これは、双有理幾何における反転を示している。
• 多面体が点に収縮する（最小モデル）か、低次元多面体に縮退する（モーリー・ファイブレーション）段階でプロセスは終了し、ファイバーは最終的な多面体構造により特定される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${\mathbb{Q}}$-Gorensteinで、射影的なホロスフィカル多様体に対して、nef錐 $NE(X)$ を計算せずにMMPを効果的に実装できるか？
• RQ2 モーメント多面体を用いて、ホロスフィカル多様体のMMPにおける反転、除的収縮、モーリー・ファイブレーションをどのようにアルゴリズム的に記述できるか？
• RQ3 アーモニック・カーティエ除 canonical divisor の選択が、この多様体族におけるMMPの経路に与える役割は何か？
• RQ4 多様体の特異性はMMPの各ステップを通じてどのように変化するか？ また、いつ ${\mathbb{Q}}$-Gorenstein または ${\mathbb{Q}}$-ファクターであるか？
• RQ5 ホロスフィカル多様体のMMPにおけるモーリー・ファイブレーションの一般ファイバーは何か？ そして、幾何的にどのように記述できるか？

主な発見

• ${\mathbb{Q}}$-Gorensteinで、射影的なホロスフィカル多様体に対するMMPは、任意の連結な再帰的代数群 $G$ に対して終了し、リードのトーリックMMPを一般化し、ブリオンの球面的MMPを完成させる。
• 反転やモーリー・ファイブレーションを含むMMPの各ステップは、アーモニック・カーティエ除 canonical divisor のモーメント多面体の連続的変形によって明示的に記述可能である。
• 反転は、多面体が非頂点構成から頂点構成に変化する遷移によって生じる。これは、多様体のカラーファン構造の変化に対応する。
• MMPの最終的結果は、多面体が点に収縮する（最小モデル）か、低次元多面体に縮退する（モーリー・ファイブレーション）場合であり、ファイバーは $G/P_\beta$ に同型である。
• 例6では、MMPにより反転が生じ、色 $\alpha$ と $\beta$ の役割が交換され、$X^+$ がフラッグ多様体 $G/P_\beta$ にモーリー・ファイブレーションとして写像される。
• 例7では、MMPは非-${\mathbb{Q}}$-ファクターな多様体 $X$ から出発し、多面体の変形によって反転を経て、$X^+$ から $G/P_\beta$ へのモーリー・ファイブレーションに至り、ファイバーは射影直線である。