[論文レビュー] An approach to computing downward closures

Georg Zetzsche|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2015

semigroups and automata theory参考文献 17被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、言語クラスが有理変換に関して閉じており、パリフ写像が有効に半線形である場合、下閉包の計算可能性を保証する一般化された手法を提示する。この手法は、同時に無限大に達する性質（SUP）への問題の還元に基づく。言語クラスが有理変換に関して閉じており、パリフ写像が有効に半線形である場合、下閉包は計算可能であることを証明し、行列言語やインデックス付き言語へと拡張する。従来の既知のクラスおよび新しいクラスに対し、統一的かつ簡素化されたアプローチを提供する。

ABSTRACT

The downward closure of a word language is the set of all (not necessarily contiguous) subwords of its members. It is well-known that the downward closure of any language is regular. While the downward closure appears to be a powerful abstraction, algorithms for computing a finite automaton for the downward closure of a given language have been established only for few language classes. This work presents a simple general method for computing downward closures. For language classes that are closed under rational transductions, it is shown that the computation of downward closures can be reduced to checking a certain unboundedness property. This result is used to prove that downward closures are computable for (i) every language class with effectively semilinear Parikh images that are closed under rational transductions, (ii) matrix languages, and (iii) indexed languages (equivalently, languages accepted by higher-order pushdown automata of order 2).

研究の動機と目的

• 多くの言語クラスにおいて、下閉包を計算することが難しい中で、語の言語の下閉包を一般的かつ体系的に計算するためのアプローチを開発すること。
• 下閉包は常に正則であるが、一般にはその有限オートマトンを計算することは決定不能であるという課題に対処すること。
• 下閉包が計算可能となる十分条件を同定すること。特に、閉包性質とパリフ写像の半線形性に焦点を当てる。
• 下閉包の計算可能性を、文脈自由言語やペトリネット言語を超えて、行列言語やインデックス付き言語へと拡張すること。
• 下閉包計算の既存のアルゴリズムを、単一の核心問題（同時に無限大に達する問題：SUP）に還元することにより、統一的かつ簡略化されたフレームワークを提供すること。

提案手法

• 下閉包の計算問題を、すべての文字について指数が任意に大きくとれるかをチェックする同時無限大性問題（SUP）に還元する。これは、$a_1^* \cdots a_n^*$ 内の言語に対して、すべての文字の指数が同時に無限大に達するかを検査する。
• 言語クラスが有理変換に関して閉じており、パリフ写像が有効に半線形である場合、SUP は決定可能であるという事実を活用し、下閉包の計算可能性を示す。
• 有理変換を用いて元の言語を、SUP を検査可能な形に変換する。有理変換に関する閉包性質を活用する。
• 特にインデックス付き言語や行列言語に対して、文法の導出木およびスライス分解の構造を分析することで、下閉包の有限オートマトンを構築する。
• 有限インデックス散在文脈文法を用いて導出をシミュレートし、正しい部分語集合を生成することで、結果として得られる言語の正則性を保証する。
• スライス木の前順走査を用いて初期送達形を生成し、同時にスタックのプッシュとポップ操作を模倣する生産列を定義する。この際、正しさを保持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 文脈自由言語やペトリネット言語を超える言語クラスに対し、下閉包を一般的かつ体系的に計算できるか。
• RQ2 同時に無限大に達する問題（SUP）がどのような条件下で決定可能となり、それが下閉包の計算可能性とどのように関係するか。
• RQ3 統一的フレームワークを用いて、下閉包の計算可能性を行列言語やインデックス付き言語へと拡張できるか。
• RQ4 下閉包計算が、半線形性の検査および有理変換に関する閉包性質の検査にどの程度還元可能か。
• RQ5 提案手法が、既知の言語クラスにおける下閉包計算の既存のアルゴリズムをどの程度簡略化または統一できるか。

主な発見

• 任意の言語の下閉包は正則であるが、一般にはその有限オートマトンを計算することは決定不能である。
• 有理変換に関して閉じており、パリフ写像が有効に半線形である言語クラスに対しては、下閉包は同時に無限大に達する問題（SUP）を介して計算可能である。
• この手法により、文脈自由言語およびスタックカウンタオートマトンの計算可能性が再確認され、さらに複数文脈自由言語および行列言語へと拡張される。
• インデックス付き言語（2階の高次オートマトンによって受理される言語と同値）の下閉包は計算可能であり、長年の未解決問題を解決する。
• このアプローチにより、既存のアルゴリズムが単一の核心問題（SUP）に還元され、計算プロセスが統一的かつ簡素化される。
• 有限インデックス散在文脈文法を用いて、導出木およびスライス構造をシミュレートすることで、下閉包の有限オートマトンが構築可能となる。