[論文レビュー] An Approximate Riemann Solver for Convection-Pressure Split Euler Equations Using Jordan Canonical Forms

Naveen Kumar Garg, S. V. Raghurama Rao+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2016

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、真に弱い双曲型部分系（標準的固有ベクトルが不完全）を扱うためにジョルダン標準形を用い、線形独立な一般化固有ベクトルの完全な集合を構築することで、オイラー方程式の上流数値解法を提案する。この手法により、対流-圧力分割スキームにおける安定なフラックス差分分割が可能となり、衝撃不安定性を示す1次元および2次元のベンチマーク問題で検証された。

ABSTRACT

In this study, we analyze convection-pressure split Euler flux functions which contain genuine weakly hyperbolic convection subsystems. A system is said to be a genuine weakly hyperbolic if all eigenvalues are real with no complete set of linearly independent (LI) eigenvectors. To construct an upwind solver based on flux difference splitting (FDS) framework, we require to generate complete set of LI eigenvectors. This can be done through addition of generalized eigenvectors which can be computed from theory of Jordan canonical forms. Once we have complete set of LI generalized eigenvectors, we construct upwind solvers in convection-pressure splitting framework. Since generalized eigenvectors are not unique, we take extra care to ensure no direct contribution of generalized eigenvectors in the final formulation of both the newly developed numerical schemes. First scheme is based on Zha and Bilgen type splitting approach, while second is based on Toro and Vazquez splitting. Both the schemes are tested on several bench-mark test problems on 1-D and one of them is tested on some typical 2-D test problems which involve shock instabilities. The concept of generalized eigenvector based on Jordan forms is found to be useful in dealing with the genuine weakly hyperbolic parts of the considered Euler systems.

研究の動機と目的

• 対流部分系が真に弱い双曲型（実固有値ではあるが、線形独立な固有ベクトルの完全な集合が存在しない）場合に、対流-圧力分割オイラー方程式を解く課題に対処すること。
• 標準的固有系手法が不完全な固有ベクトルによって失敗するようなシステムに対して、フラックス差分分割（FDS）フレームワーク内での頑健な上流スローブ・ソルバーを構築すること。
• 固有系を補完するために用いられる一般化固有ベクトルが、最終的な数値フラックス式に直接寄与しないようにすること。
• 標準的な1次元および選択された2次元ベンチマーク問題、特に衝撃不安定性を示す問題に対して、提案されたスキームを検証すること。

提案手法

• 真に弱い双曲型（実固有値、不完全な固有ベクトル集合）である対流部分系に対して、ジョルダン標準形理論を用いて一般化固有ベクトルを計算する。
• フラックス差分分割を可能にするために、線形独立な一般化固有ベクトルの完全な基底を構築する。
• 2種類の異なるフラックス分割アプローチ（ZhaとBilgen型分割およびToroとVazquez型分割）を採用し、両者を一般化固有ベクトルフレームワークに適合させる。
• 一般化固有ベクトルが最終的な数値フラックスに現れないように、変換およびフラックス再構築プロセスを注意深く構造化する。
• 得られたスキームを有限体積法フレームワークに実装し、衝撃および不連続性を含む1次元および2次元オイラー方程式ベンチマークでテストする。
• 対流-圧力分割から生じる非対角化可能なシステムを体系的に処理するため、ジョルダン形式を用いることで上流性を保持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対流部分系が真に弱い双曲型である場合に、対流-圧力分割オイラー方程式に対して安定な上流フラックス差分分割スキームをどのように構築できるか。
• RQ2 ジョルダン標準形から導かれる一般化固有ベクトルは、非対角化可能な対流部分系の数値ソルバーの実現にどのような役割を果たすか。
• RQ3 一般化固有ベクトルの導入を、最終的なフラックス式において体系的かつ明示的に回避することは可能か。その際、数値的安定性および精度を維持できるか。
• RQ4 提案されたスキームは、標準的手法と比較して、衝撃不安定性を示す1次元および2次元ベンチマーク問題において、どのように性能を発揮するか。

主な発見

• ジョルダン標準形を用いた一般化固有ベクトルの使用により、真に弱い双曲型であるがために不完全な固有ベクトル集合を持つ対流部分系に対して、完全な基底を構築することが可能となった。
• ZhaとBilgenおよびToroとVazquezの両分割に基づく提案スキームは、衝撃不安定性を示す1次元および2次元テスト問題において、安定な数値解を達成した。
• 最終的な数値フラックス式には、一般化固有ベクトルの直接的な寄与が含まれず、フラックス分割の物理的構造が保持された。
• 本手法は、オイラー方程式における対流部分系の非対角化可能な性質を効果的に処理し、標準的固有系ソルバーの限界を克服した。
• テストされたベンチマークにおいて、衝撃および不連続性を歪みのない状態で的確に捉える能力を示し、不適切な振動を引き起こさなかった。