[論文レビュー] An Approximation Algorithm for Risk-averse Submodular Optimization

Lifeng Zhou, Pratap Tokekar|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 21被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、不確実性下でのリスク回避的サブモジュラ最適化に対して、条件付きリスク価値（CVaR）をリスク指標として用いた順次グリーディアルゴリズム（SGA）を提案する。サブモジュラ関数の曲率とマトロイド制約を活用し、最適解に依存する加法的誤差項を伴う定数乗数の近似保証を提供するとともに、ロボティクスの応用分野（モビリティ・オン・デマンドやセンサ選択など）における組合せ意思決定の多項式時間実行を証明する。

ABSTRACT

We study the problem of incorporating risk while making combinatorial decisions under uncertainty. We formulate a discrete submodular maximization problem for selecting a set using Conditional-Value-at-Risk (CVaR), a risk metric commonly used in financial analysis. While CVaR has recently been used in optimization of linear cost functions in robotics, we take the first stages towards extending this to discrete submodular optimization and provide several positive results. Specifically, we propose the Sequential Greedy Algorithm that provides an approximation guarantee on finding the maxima of the CVaR cost function under a matroidal constraint. The approximation guarantee shows that the solution produced by our algorithm is within a constant factor of the optimal and an additive term that depends on the optimal. Our analysis uses the curvature of the submodular set function, and proves that the algorithm runs in polynomial time. This formulates a number of combinatorial optimization problems that appear in robotics. We use two such problems, vehicle assignment under uncertainty for mobility-on-demand and sensor selection with failures for environmental monitoring, as case studies to demonstrate the efficacy of our formulation.

研究の動機と目的

• 期待効用を超えるリスク回避的意思決定を組み込んだ不確実性下での組合せ最適化を扱う。
• ロボティクスの文脈において、線形関数から離れた離散的サブモジュラ関数へのCVaRベース最適化を拡張する。
• マトロイド制約とCVaRリスク指標下でのサブモジュラ最大化に理論的近似保証を持つ効率的アルゴリズムを開発する。
• モビリティ・オン・デマンドおよび環境モニタリングにおけるセンサ故障を想定した事例研究を通じて、有効性を実証する。

提案手法

• 条件付きリスク価値（CVaR）を目的関数として用いたリスク回避的サブモジュラ最適化問題を定式化する。
• CVaRの閾値の離散化された時間間隔ごとに候補解を段階的に評価する順次グリーディアルゴリズム（SGA）を導入する。
• 各時間間隔内で正規化されたサブモジュラ関数を最大化するためのグリーディ選択戦略を採用し、曲率を用いて近似誤差を制限する。
• 連続最適化問題を近似するため、CVaR閾値の範囲にわたる離散化スキームを適用し、ステップサイズΔを用いる。
• 確率変数yのn_s個の実現に基づくモンテカルロサンプリングにより、CVaR値を推定するオракルを活用する。
• サブモジュラ関数の曲率kfを用いて理論的境界を導出し、解が最適解の(1 + kf)倍以内に加えて、加法的誤差項を持つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不確実性下でのロボティクス分野における離散的サブモジュラ最適化問題に、CVaRを効果的に適用できるか。
• RQ2 マトロイド制約下で単調サブモジュラ関数のCVaRを最大化する場合、どのような近似保証が達成可能か。
• RQ3 サブモジュラ関数の曲率が、提案アルゴリズムの近似比にどのように影響するか。
• RQ4 理論的性能保証を維持しつつ、多項式時間で効率的に実装可能か。
• RQ5 車両割り当てやセンサ選択のようなリスク回避的状況において、期待値ベース最適化と比較して、本手法はどのように優れるか。

主な発見

• 順次グリーディアルゴリズム（SGA）は、最適CVaR値の(1 + kf)⁻¹倍に加えて、kfΓ(1/α − 1)の加法的誤差項を持つ近似比を達成する。ここでkfはサブモジュラ関数の曲率を表す。
• アルゴリズムの実行時間は多項式時間であり、計算量はO(⌈Γ/Δ⌉|X|²ns)で表される。ここで|X|は基底集合のサイズ、nsはモンテカルロサンプル数、Γは確率変数の上界を表す。
• 近似保証は一般のマトロイド制約下でも成立し、基数制約、連結性、その他の組合せ的制約への応用を可能にする。
• 事例研究では、SGAが期待値ベース手法を上回ることを示した。例えば、平均時間は長くても、尾部リスクが低い移動時間の車両選択において顕著な優位性を示した。
• 理論的分析により、関数f(S,y)がSに関して単調サブモジュラでyに関して可積分である場合、CVaR目的関数はサブモジュラかつ単調であることが確認された。
• 本手法はセンサ性能やロボット移動時間の不確実性に対しても効果的に対処でき、環境モニタリングやモビリティ・オン・デマンドの応用分野において、高いロバスト性を示した。