[論文レビュー] An Approximation Algorithm for the Exact Matching Problem in Bipartite Graphs

Anita Dürr, Nicolas El Maalouly+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、二部グラフにおける正確なマッチング（EM）問題の決定的多項式時間近似アルゴリズムを提示する。目的は、赤色辺の数がkを超えないようにしながら、完全マッチングに少なくともkの1/3の赤色辺を含めるものである。アルゴリズムは反復的に辺を選択し、最小の赤色辺数を有する完全マッチングを計算する。赤色辺数の近似比は3であり、これにより、以前の手法が最大1.5kの赤色辺を許容していたのに対し、著しく改善された。

ABSTRACT

In 1982 Papadimitriou and Yannakakis introduced the Exact Matching problem, in which given a red and blue edge-colored graph $G$ and an integer $k$ one has to decide whether there exists a perfect matching in $G$ with exactly $k$ red edges. Even though a randomized polynomial-time algorithm for this problem was quickly found a few years later, it is still unknown today whether a deterministic polynomial-time algorithm exists. This makes the Exact Matching problem an important candidate to test the RP=P hypothesis. In this paper we focus on approximating Exact Matching. While there exists a simple algorithm that computes in deterministic polynomial-time an almost perfect matching with exactly $k$ red edges, not a lot of work focuses on computing perfect matchings with almost $k$ red edges. In fact such an algorithm for bipartite graphs running in deterministic polynomial-time was published only recently (STACS'23). It outputs a perfect matching with $k'$ red edges with the guarantee that $0.5k \leq k' \leq 1.5k$. In the present paper we aim at approximating the number of red edges without exceeding the limit of $k$ red edges. We construct a deterministic polynomial-time algorithm, which on bipartite graphs computes a perfect matching with $k'$ red edges such that $k/3 \leq k' \leq k$.

研究の動機と目的

• kに近い赤色辺数を持つ完全マッチングを保証する、決定的多項式時間アルゴリズムを開発し、二部グラフにおける正確なマッチング問題を近似すること。
• 従来の近似アルゴリズムが最大1.5kの赤色辺を許容していたのに対し、本手法では赤色辺数がkを超えないように制約を課すことにより、それらを改善すること。
• 赤色辺数がkの1/3以上であることを保証する、きつい近似比3を達成すること。
• 完全マッチングにおける赤色辺数の上限を考慮する近似の分野において、進展が著しくないにもかかわらず、ほぼ完全マッチングに関する広範な研究がなされている現状に対処すること。

提案手法

• アルゴリズムはグラフ内のすべての辺eについて反復処理を行い、eを含む完全マッチングの中で赤色辺数が最小となるものを計算する。
• 各辺eに対して、赤色辺には重み1、青色辺には重み0を割り当てた最小重み完全マッチングアルゴリズムを用いる。
• すべてのこのようなマッチングの中で、赤色辺数が最小となる辺eを選択する。
• 最終的な出力は、すべての辺の反復処理を通じて得られた赤色辺数が最小の完全マッチングであり、赤色辺数が少なくともk/3に達することを保証する。
• 正しさの証明は、少なくとも1つの辺eが、赤色辺数がk/3以上である最小の赤色辺数完全マッチングを生成することを示すことに依存する。これにより、3近似比が保証される。
• アルゴリズムは標準的なマッチングアルゴリズムをサブルーチンとして用いるため、決定的多項式時間で実行可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 kを超えない赤色辺数を保証する決定的多項式時間アルゴリズムを設計でき、二部グラフにおける正確なマッチング問題を近似できるか。
• RQ2 kを超えない赤色辺数の制約のもとで、赤色辺数の近似比を3より良くできるか。
• RQ3 k/3以上の赤色辺数を持つマッチングが、辺の反復処理と最小赤色辺数マッチングの計算によって、効率的に計算可能か。
• RQ4 単一の辺ではなく、より大きな辺の部分集合を検討することで、近似比を向上させられるか。
• RQ5 二部グラフにおけるEM-opt変種で達成可能な最もタイトな近似比は何か。

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、k′の赤色辺数を有する完全マッチングを計算し、1/3 k ≤ k′ ≤ k を満たし、3近似比を達成する。
• アルゴリズムは決定的多項式時間で実行されるため、確率的要素が望ましくない実用的応用に適している。
• 正しさの証明は、少なくとも1つの辺eが、k/3以上の赤色辺数を持つ最小の赤色辺数完全マッチングを生成することを示すことに依存する。
• 従来の手法が最大1.5kの赤色辺を許容していたのに対し、本手法ではkの上界を厳密に守る。
• 3近似比の分析はタイトであり、近似比を2に改善するには新しい技術的アプローチが必要であることを示唆している。
• 著者らは、単一の辺ではなく、定数サイズの辺の部分集合を反復処理することで、より良い近似比が得られる可能性があると推測しているが、その拡張は依然として困難である。