[論文レビュー] An Arakelov-Theoretic Approach to Naïve Heights on Hyperelliptic Jacobians

David Holmes|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、双曲的ヤコビ多様体上の計算可能な原始的高さを定義するアラケロフ理論的アプローチを導入し、それがネロン＝ターテの高さから有界な定数だけ異なることを示している。これにより、有界なネロン＝ターテの高さを持つすべての点を「原理的には」計算するためのアルゴリズムが可能になる。主な貢献は、正則モデルと交差理論を用いた実用的な境界計算であり、関数体上での genus 11 までの曲線に対して実証されている。

ABSTRACT

We use Arakelov theory to define a height on divisors of degree zero on a hyperelliptic curve over a global field, and show that this height has computably bounded difference from the Néron-Tate height of the corresponding point on the Jacobian. We give an algorithm to compute the set of points of bounded height with respect to this new height. This provides an `in principle' solution to the problem of determining the sets of points of bounded Néron-Tate heights on the Jacobian. We give a worked example of how to compute the bound over a global function field for several curves, of genera up to 11.

研究の動機と目的

• 双曲的ヤコビ多様体上に、ネロン＝ターテの高さから有界な定数だけ異なる計算可能な原始的高さを定義すること。
• 双曲的曲線のヤコビ多様体上での有界なネロン＝ターテの高さを持つすべての点を特定するためのアルゴリズム的枠組みを提供すること。
• 高 genus における従来の射影埋め込み法の計算不能性を、アラケロフ理論と正則モデルを用いることで克服すること。
• 特に無限遠点に有理数のワイエルシュトラス点を持つ曲線を想定し、グローバル関数体上での高 genus（最大 genus 11）における境界計算の実現可能性を示すこと。

提案手法

• 本稿では、除法点の x 座標で消失する多項式の対数的高さを用いて原始的高さを定義し、2θ線束を介して射影埋め込みと関連づけている。
• アラケロフ理論を適用し、非アーチメデス的およびアーチメデス的場における局所的寄与を用いて、原始的高さとネロン＝ターテの高さの差を有界化している。
• 境界の計算は、滑らかな中心における吹き上げを用いて構築された曲線の正則モデルを介して行われ、特別なファイバーの交差行列のムーア＝ペンローズ擬似逆行列を用いている。
• 関数体の場合、境界は擬似逆行列の最大成分と、連続する吹き上げの最長チェーンの長さから得られ、明示的な定数が得られる。
• MAGMA を用いてドンネリーの正則モデル関数を実装し、特別なファイバーの構造とモデルの幾何学的性質から境界を導出している。
• 最終的な境界は log p と g² 項の線形結合として表され、F_p(t) 上の genus 2, 4, 11 の曲線に対して明示的な数値が計算されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アラケロフ理論的アプローチにより、双曲的ヤコビ多様体上での計算可能な原始的高さを定義でき、それがネロン＝ターテの高さから有界な定数だけ異なるか？
• RQ2 特に関数体上での高 genus の双曲的曲線において、原始的高さとネロン＝ターテの高さの差の大きさはどの程度か？
• RQ3 正則モデルと交差理論を用いて、genus 3 より大きな曲線について、このような境界を明示的に計算可能か？
• RQ4 この方法は実用的に効率的に実装可能か？ また、計算のボトルネックが境界計算から点探索にシフトするか？
• RQ5 正標数における genus と体のサイズの増大に伴い、境界はどのようにスケーリングするか？

主な発見

• F_3(t) 上の genus 2 曲線に対して、すべての q ∈ Jac_C(K) に対して h^†(q) ≤ ĥ(q) + 86 log 3 が成り立つ。
• F_5(t) 上の genus 4 曲線に対して、h^†(q) ≤ ĥ(q) + 417 log 5 が成り立つ。
• F_101(t) 上の genus 11 曲線に対して、h^†(q) ≤ ĥ(q) + 5790 log 101 が成り立つ。
• genus 11 の場合、MAGMA で境界計算に60秒未満で完了しており、実用的な可能性が示された。
• 使用された連続する吹き上げの最長チェーンは、genus 11 で12、genus 2 で10、genus 4 で7であり、genus 11 の特別なファイバーには49個の既約成分があった。
• 交差行列のムーア＝ペンローズ擬似逆行列の最大成分は 4.102…、最小成分は -8.076… であり、これらが最終的な境界計算に寄与している。