[論文レビュー] An arbitrary-order discrete de Rham complex on polyhedral meshes: Exactness, Poincar\'e inequalities, and consistency

Daniele A. Di Pietro, Jérôme Droniou|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2021

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 54被引用数 29

ひとこと要約

本稿では、多面体メッシュ上に任意の次数の離散 de Rham複体を提示し、正確性、一様な Poincaré 不等式、および適合有限要素型スケームの整合性を保証する。多項式空間をベクトル解析的演算子と Koszul 型補空間に分解することにより、非適合で完全に離散化された空間および演算子を構築し、連続 de Rham 複体の位相的・幾何的構造を保持する。これにより、磁気力学問題に対して最適な誤差推定が可能となる。

ABSTRACT

In this paper we present a novel arbitrary-order discrete de Rham (DDR) complex on general polyhedral meshes based on the decomposition of polynomial spaces into ranges of vector calculus operators and complements linked to the spaces in the Koszul complex. The DDR complex is fully discrete, meaning that both the spaces and discrete calculus operators are replaced by discrete counterparts, and satisfies suitable exactness properties depending on the topology of the domain. In conjunction with bespoke discrete counterparts of $L^2$-products, it can be used to design schemes for partial differential equations that benefit from the exactness of the sequence but, unlike classical (e.g., Raviart--Thomas--N\'ed\'elec) finite elements, are nonconforming. We prove a complete panel of results for the analysis of such schemes: exactness properties, uniform Poincar\'e inequalities, as well as primal and adjoint consistency. We also show how this DDR complex enables the design of a numerical scheme for a magnetostatics problem, and use the aforementioned results to prove stability and optimal error estimates for this scheme.

研究の動機と目的

• 一般の多面体メッシュ上で、de Rham 複体の正確性を保つ適合的で非適合な有限要素法を構築すること。
• メッシュサイズに依存しない一様な Poincaré 不等式を離散ノルムに対して保証すること。
• 離散ベクトル解析的演算子の補間に関して、原始的および随伴的整合性を確立すること。
• 磁気力学などの PDE に対して安定かつ最適収束性を示すスケームを構築するための枠組みを提供すること。
• 一貫した代数的・幾何的分解を用いて、既存の Raviart-Thomas および Nédélec 要素を任意の次数および多面体要素に一般化すること。

提案手法

• ベクトル解析的演算子（勾配、回転、発散）の像と、Koszul 複体を用いた直交補空間に多項式空間を分解する。
• メッシュの要素（セル、面、辺）に沿って離散空間を定義し、多項式モーメントに結びついた自由度を設定する。
• 局所的再構成とリフト技術を用いて、離散ベクトル解析的演算子（勾配、回転、発散）を構築する。
• ポテンシャル再構成と成分ごとのノルムを用いた離散 L2 内積を導入し、安定性と整合性を保証する。
• 有界性および可換性の性質を証明するために、局所的リフト演算子（例：回転リフト）を用いる。
• スケーリングの議論と逆不等式を用いて、一様な境界と Poincaré 型推定を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の多面体メッシュ上に、離散レベルでも正確性を保つ完全に離散化された de Rham 複体を構築できるか？
• RQ2 離散演算子はメッシュサイズに依存しない一様な Poincaré 不等式を満たすか？
• RQ3 離散演算子は、原始的および随伴的両形式において、それらの連続的対応物と整合性を有するか？
• RQ4 離散複体を用いて、磁気力学問題に対して安定かつ最適収束性を示すスケームを設計できるか？
• RQ5 ベクトル解析的演算子と Koszul 補空間による多項式分解を、任意の次数の非適合法を構築するためにどのように活用できるか？

主な発見

• 提案された離散 de Rham 複体は、位相的仮定の下で正確性を達成する：Im(𝑖Ω) = Ker(grad), Im(grad) = Ker(curl), Im(curl) = Ker(div), および Im(div) = L2(Ω)。
• 一様な離散 Poincaré 不等式が証明された：u ∈ (grad H1(T))⊥ に対して、‖u‖L2(T) ≲ h_T ‖grad u‖L2(T) が成り立ち、回転および発散に対しても同様の境界が成立する。
• 原始的整合性が成立する：離散勾配、回転、発散演算子は、O(h^k) 項を除き、補間演算子と可換である。
• 随伴的整合性が確立された：離散演算子は、最適な整合性誤差 O(h^k) を有する部分積分恒等式を満たす。
• 離散 L2 内積は、連続的な L2 内積と同値であり、離散ノルムの安定性と有界性を保証する。
• 磁気力学問題に対して、スケームは最適収束性を示す：適切な正則性のもとで、‖B - B_h‖L2(Ω) ≲ h^k が成り立ち、k は多項式次数である。