[論文レビュー] An area law and sub-exponential algorithm for 1D systems

Itai Arad, Alexei Kitaev+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2013

Quantum many-body systems参考文献 6被引用数 90

ひとこと要約

本稿では、1次元（1D）ギャップのある量子系における面積法則の新しい証明を提示する。エンタングルメントエントロピーの境界を $ O(\log^3 d / \epsilon) $ まで指数的改善し、ここで $ d $ は局所ヒルベルト空間次元、$ \epsilon $ はスペクトルギャップを表す。この手法は、検出性ラーニングに依存せず、ハミルトニアンから直接構築されたチェビシェフに基づく近似基底状態射影子（AGSP）を用いる。これにより、一般の（フラストレーションを含む）1Dハミルトニアンにも適用可能となる。この方法により、結合次元 $ B = \tilde{O}(\exp(\log^{3/4} n / \epsilon^{1/4})) $ の下で、地面エネルギーの近似をサブ指数時間で行うアルゴリズムが得られ、3-SATがサブ指数時間で解けるならば、この問題がNP困難でないことを示唆する。

ABSTRACT

Analog quantum simulation is a promising path towards solving classically intractable problems in many-body physics on near-term quantum devices. However, the presence of noise limits the size of the system and the length of time that can be simulated. In our work, we consider an error model in which the actual Hamiltonian of the simulator differs from the target Hamiltonian we want to simulate by small local perturbations, which are assumed to be random and unbiased. We analyze the error accumulated in observables in this setting and show that, due to stochastic error cancellation, with high probability the error scales as the square root of the number of qubits instead of linearly. We explore the concentration phenomenon of this error as well as its implications for local observables in the thermodynamic limit. Moreover, we show that stochastic error cancellation also manifests in the fidelity between the target state at the end of time-evolution and the actual state we obtain in the presence of noise. This indicates that, to reach a certain fidelity, more noise can be tolerated than implied by the worst-case bound if the noise comes from many statistically independent sources.

研究の動機と目的

• 1Dギャップのあるハミルトニアンの基底状態におけるエンタングルメントエントロピーの境界を、よりタイトに、指数的改善する。
• 検出性ラーニングに依存しない一般のAGSP構成法を確立し、フラストレーションを含むハミルトニアンに対しても適用可能にする。
• 基底状態が、サブ線形結合次元の行列積状態（MPS）によって近似可能であることを示し、地面エネルギー近似のサブ指数時間アルゴリズムを示唆する。
• 1Dハミルトニアンのべき乗のエンタングルメントランクに関する、新しい「ランダムウォークに類似した」境界を証明する。

提案手法

• 左および右の部分系の固有値を制限することで、ハミルトニアン $ H(t) $ を切り詰める。これによりノルムは減少するが、スペクトルギャップ構造は保持される。
• チェビシェフ多項式を用いて、$ H(t) $ 上にロバストな近似基底状態射影子（AGSP）を構築し、低エンタングルメントランクと基底状態への強い収束性を保証する。
• 新しい境界を確立：$ \text{ER}(H^\ell) \leq (\ell d)^{O(\sqrt{\ell})} $。これは1D系における「ランダムウォークに類似した」エンタングルメント成長を捉えている。
• AGSPを積状態に適用し、得られる状態が基底状態と誤差 $ \leq 1/\text{poly}(n) $ で近似できることを示す。
• 得られた低結合次元MPSに対して動的計画法を適用し、地面エネルギーの $ 1/\text{poly}(n) $-近似をサブ指数時間で計算する。
• 切り詰め補題を用いて、射影状態 $ |\Gamma_t\rangle $ が真の基底状態に指数的に近いこと、および $ H $ と $ H(t) $ の近似固有状態でもあることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1D面積法則におけるエンタングルメントエントロピーの境界は、ハスティングスの元の $ \tilde{O}(\log d / \epsilon) $ よりも改善可能か？特にフラストレーションを含む系において。
• RQ2 検出性ラーニングに依存せず、一般の（フラストレーションを含む）1Dハミルトニアンに対しAGSPを構築することは可能か？
• RQ3 1Dハミルトニアンのべき乗のエンタングルメントランクは「ランダムウォークに類似した」方法で増加するか？その増加を束縛できるか？
• RQ4 1Dギャップ系の地面エネルギー近似に、サブ指数時間アルゴリズムを構築可能か？その結果、この問題がNP困難でないことを示唆するか？

主な発見

• 1Dギャップ系の任意の切断における基底状態のエンタングルメントエントロピーは、$ O(\log^3 d / \epsilon) $ で有界であり、ハスティングスの結果に比べ指数的改善である。
• 新しい「ランダムウォークに類似した」境界が証明された：$ \text{ER}(H^\ell) \leq (\ell d)^{O(\sqrt{\ell})} $。これは量子多体理論において独立に価値のある結果である可能性がある。
• 一般の1Dギャップハミルトニアンの基底状態は、結合次元 $ B = \tilde{O}(\exp(\log^{3/4} n / \epsilon^{1/4})) $ の行列積状態（MPS）によって近似可能であり、これは $ n $ に対してサブ線形である。
• 地面エネルギーを $ 1/\text{poly}(n) $ の誤差で近似するサブ指数時間アルゴリズムが構築され、実行時間は $ T \leq \exp(\tilde{O}(\log^{3/4} n / \epsilon^{1/4})) $ である。
• このようなアルゴリズムの存在は、1Dギャップハミルトニアンの地面エネルギーを求める問題が、3-SATがサブ指数時間で解けるならばNP困難でないという強力な証拠を示している。
• 切り詰め状態 $ |\Gamma_t\rangle $ が真の基底状態に指数的に近いことが示され、$ \| |\Gamma\rangle - |\Gamma_t\rangle \| \leq 2^{-\Omega(t)} $ を満たし、$ H $ と $ H(t) $ の両方の近似固有状態である。