[論文レビュー] An arithmetic intersection formula for denominators of Igusa class polynomials

Kristin Lauter, Bianca Viray|Project Muse (Johns Hopkins University)|Oct 29, 2012

Coding theory and cryptography被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、クaternion代数における順序の埋め込み問題と一般化されたグロス＝ツァイアー理論に基づく新規なアプローチを用いて、任意の原始的四次複乗乗法的集合体 $K$ に対して、Igusa類多項式の分母の $\ell$-進付値を計算可能な公式を導出する。この公式は、$\mathcal{O}_K$ が単生成でない場合でさえも、タイトな上限を与える。また、Siegel 上のアーベル曲面のモジュライ空間における $(\operatorname{CM}(K).\textup{G}_{1})_{\ell}$ の明示的算術的交線公式を、ブルインイアー＝ヤンおよびヤンの先行研究を一般化する形で確立する。

ABSTRACT

In this paper we prove an explicit formula for the arithmetic intersection number (CM(K).G1)_{\ell} on the Siegel moduli space of abelian surfaces, generalizing the work of Bruinier-Yang and Yang. These intersection numbers allow one to compute the denominators of Igusa class polynomials, which has important applications to the construction of genus 2 curves for use in cryptography. Bruinier and Yang conjectured a formula for intersection numbers on an arithmetic Hilbert modular surface, and as a consequence obtained a conjectural formula for the intersection number (CM(K).G1)_{\ell} under strong assumptions on the ramification of the primitive quartic CM field K. Yang later proved this conjecture assuming that O_K is freely generated by one element over the ring of integers of the real quadratic subfield. In this paper, we prove a formula for (CM(K).G1)_{\ell} for more general primitive quartic CM fields, and we use a different method of proof than Yang. We prove a tight bound on this intersection number which holds for all primitive quartic CM fields. As a consequence, we obtain a formula for a multiple of the denominators of the Igusa class polynomials for an arbitrary primitive quartic CM field. Our proof entails studying the Embedding Problem posed by Goren and Lauter and counting solutions using our previous article that generalized work of Gross-Zagier and Dorman to arbitrary discriminants.

研究の動機と目的

• 複乗乗法的集合体 $K$ を持つ genus 2 曲線の Igusa類多項式の分母の $\ell$-進付値を計算すること。
• ブルインイアー＝ヤンおよびヤングの先行公式を一般化すること。これらは $K$ の複乗乗法的集合体に制限的な仮定を必要としていた。
• 原始的四次複乗乗法的集合体 $K$ 全体に対して、$(\operatorname{CM}(K).\textup{G}_{1})_{\ell}$ のタイトな上界を提供すること。$\mathcal{O}_K$ が自由生成されない場合でも成立する。
• 暗号的構成における genus 2 曲線のアルゴリズムの効率を向上させる、これらの分母を計算する手法を確立すること。

提案手法

• 著者らは、$\overline{\mathbb{F}}_\ell$ 上の2つの $\ell$-同種な楕円曲線の積の自己準同型代数への、$\mathcal{O}_K$ の整域の埋め込み問題を、積の極化に関して研究する。
• グロス＝ツァイアーおよびドーマンの理論を一般化し、クォータニオン代数における $\mathbb{Z}_\ell$-順序上の埋め込み問題の解の数を数える。
• 主要な技術的道具は、最大順序における理想 $I$ の乗法的自己準同型環に要素 $w$ が属するための基準であり、これは $\ell$ のべきを法とするトレースおよびノルムの条件に基づく。
• $p$-進付値およびノルムの制約を用いて、特定の整域性およびトレース条件を満たす、ノルム $p^{v_\ell(\delta)}$ の理想 $I_p$ の数の公式を導出する。
• 証明は、$\ell$-進クォータニオン代数における順序 $R_p u + R_p \delta$ の構造を分析し、それらが有界ノルムの理想の $p$-冪倍であることを示す。
• 最終的な数え上げは、$\delta$ を割る素数 $p$ における積として表され、各局所因子は $j \equiv v_\ell(\delta) \pmod{2}$ の和として、クラス数に類似した関数 $\mathfrak{I}^{(p)}_{j - r_p}(\operatorname{Tr}(w), \operatorname{N}(w))$ で与えられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 原始的四次複乗乗法的集合体 $K$ に対して、Igusa類多項式の分母の正確な $\ell$-進付値は何か？
• RQ2 任意の原始的四次複乗乗法的集合体 $K$ に対して、$\mathcal{O}_K$ が単生成でないことを仮定せずに、算術的交線数 $(\operatorname{CM}(K).\textup{G}_{1})_{\ell}$ を明示的に計算できるか？
• RQ3 $\ell$-進クォータニオン代数における埋め込み問題の解の数は、Igusa類多項式の分母とどのように関係するか？
• RQ4 すべての原始的四次複乗乗法的集合体 $K$ に対して、$(\operatorname{CM}(K).\textup{G}_{1})_{\ell}$ のタイトで一様な上界は何か？
• RQ5 特に、$\mathcal{O}_K$ が実二次部分体の整域の上ですべて自由生成される場合に、公式は簡略化可能か？

主な発見

• 本稿は、$\mathcal{O}_K$ が実二次部分体の整域の上ですべて自由生成されるという仮定の下で、$(\operatorname{CM}(K).\textup{G}_{1})_{\ell}$ の明示的公式を提供する。この公式は、有限個の例外を除くすべての $\ell$ に対して有効である。
• すべての原始的四次複乗乗法的集合体 $K$ に対して、$(\operatorname{CM}(K).\textup{G}_{1})_{\ell}$ のタイトな上界が、$\mathcal{O}_K$ の構造に依存せずに確立された。
• 埋め込み問題の解の数は、$p \mid \delta$ かつ $p \neq \ell$ である素数 $p$ における積として表され、各局所因子は $j \equiv v_\ell(\delta) \pmod{2}$ の和として、関数 $\mathfrak{I}^{(p)}_{j - r_p}(\operatorname{Tr}(w), \operatorname{N}(w))$ で与えられる。
• 理想 $R_p u + R_p \delta$ のノルムは $\delta^2 p^{-r_p}$ を割り、$w$ が乗法的自己準同型環に属するためには $v_p(\operatorname{N}(u)) \geq 2c_p + r_p$ が必要であることが示された。
• 特に $c_p = 0$ の場合、このような理想の数はちょうど 1 であり、これは $u$ を含むノルム $\delta$ の一意な理想に対応し、公式は著しく簡略化される。
• 最終的な結果として、任意の原始的四次複乗乗法的集合体 $K$ に対して、Igusa類多項式の分母の倍数を表す公式が得られ、アルゴリズム的計算における改善された上限が可能になった。