[論文レビュー] An artificial neural network approach to bifurcating phenomena in computational fluid dynamics

Federico Pichi, Francesco Ballarin+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2021

Fluid Dynamics and Turbulent Flows被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、適切な直交分解（POD）と人工ニューラルネットワーク（POD-NN）を組み合わせた非挿入型低次元モデル手法を提案し、パrametrized流体動力学問題における分岐する流れ現象の効率的で正確な検出と追跡を可能にする。パrametersからPOD係数へのニューラルネットワークのトレーニングにより、本手法は、複雑な幾何形状（例えば、ドア付き三角形キャビティやコアンダ効果の流れ）において、高レイノルズ数下でも、付着・拡散する渦の遷移といった、臨界的な分岐点を高速かつ正確に特定可能にする。

ABSTRACT

This work deals with the investigation of bifurcating fluid phenomena using a reduced order modelling setting aided by artificial neural networks. We discuss the POD-NN approach dealing with non-smooth solutions set of nonlinear parametrized PDEs. Thus, we study the Navier-Stokes equations describing: (i) the Coanda effect in a channel, and (ii) the lid driven triangular cavity flow, in a physical/geometrical multi-parametrized setting, considering the effects of the domain's configuration on the position of the bifurcation points. Finally, we propose a reduced manifold-based bifurcation diagram for a non-intrusive recovery of the critical points evolution. Exploiting such detection tool, we are able to efficiently obtain information about the pattern flow behaviour, from symmetry breaking profiles to attaching/spreading vortices, even at high Reynolds numbers.

研究の動機と目的

• 従来の低次元モデル（ROM）では、非滑らかで一意でない解多様体を有する高精度なパラメータ化されたPDEの分岐解を追跡することが計算的に非現実的であるため、その問題に対処すること。
• 解の一意性の欠如がロバストネスを損なう分岐領域において、侵入型ハイパーリダクション技術（例：EIM）の限界を克服すること。
• 侵入型ROMの代替として、精度を保持しつつ、リアルタイムまたは多数のクエリに対する複雑な流体力学現象の解析を可能にする、非挿入的でデータ駆動型の手法を開発すること。
• 特に、流れの対称性や渦のダイナミクスに影響を与える幾何的変更を伴う多パラメータ設定において、臨界的な分岐パラメータの同定を可能にすること。
• パラメータ空間における解多様体の曲率を用いて、非侵襲的に臨界点を特定する、低次元多様体に基づく分岐図（RMBBD）を構築すること。

提案手法

• 高精度な有限要素解から得られるスナップショットデータに、適切な直交分解（POD）を適用し、解多様体の低次元基底を抽出する。
• 入力パラメータ（例：レイノルズ数、幾何パラメータ）からPOD係数へのマッピングを実現する前向き型人工ニューラルネットワーク（NN）をトレーニングし、侵入型低次元システムのオンライン解法の必要性を排除する。
• トレーニング済みのPOD-NNモデルを用いて、パラメータ空間全体にわたる連続的かつ微分可能な解多様体の近似を生成する。
• POD-NN係数の多様体に対して曲率に基づく検出アルゴリズムを適用し、解の挙動が急激に変化する（例：対称性の破れ、渦の付着／拡散）臨界分岐点を特定する。
• パラメータ空間における最大曲率の位置をプロットすることで、非侵襲的な分岐閾値の指標として、低次元多様体に基づく分岐図（RMBBD）を構築する。
• 2つのベンチマークCFD問題（急膨張チャネルにおけるコアンダ効果と、幾何パラメータ化を施したドア付き三角形キャビティ）に対して、高解像度のパラメータグリッド（501×501）を用いて手法を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非挿入型POD-NNアプローチは、非滑らかで一意でない解多様体を有するパラメータ化された非線形PDEにおいて、正確に分岐点を検出可能か？
• RQ2 ドア付きキャビティ流れにおける幾何的変更（例：キャビティ形状）は、分岐点の位置と性質にどのように影響を与えるか？
• RQ3 RMBBD手法は、侵入型ソルバーや続行法に依存せずに、付着・拡散渦領域間の臨界的遷移を信頼性高く同定可能か？
• RQ4 強い非線形性と複雑な渦のダイナミクスを有する高レイノルズ数流れにおいて、POD-NNフレームワークは精度と効率をどれほど保持できるか？
• RQ5 幾何的パラメータ化を伴う流れにおいて、臨界分岐線は単純な幾何的比（例：頂点角比B/Cがキャビティ高さμ₂に等しい）によって予測可能か、それとも対称性の破れにより本質的に非自明な性質を有するか？

主な発見

• POD-NNアプローチは、コアンダ効果およびドア付き三角形キャビティ問題の両方において、高レイノルズ数下でも、非挿入的かつ高速かつ正確に分岐する流れ解を回復可能である。
• 低次元多様体に基づく分岐図（RMBBD）は、POD-NN係数多様体における最大曲率を検出することで、臨界分岐点を正確に特定しており、高精度なシミュレーションによる妥当性が確認された。
• ドア付き三角形キャビティにおいて、付着渦領域と拡散渦領域を分かつ臨界分岐線は、頂点角比（B/C）がキャビティ高さ（μ₂）に等しい等高線と非常に一致しており、非自明な幾何的依存性が示された。
• 幾何的変更のための501×501パラメータグリッドの効率的探索が、標準的な有限要素法や侵入型ROM手法では計算的に非現実的であることを踏まえ、本手法により達成された。
• 解の一意性の欠如や非滑らかな多様体の進化にもかかわらず、POD係数のニューラルネットワークベースの回帰は、安定した性能を示し、分岐領域におけるPOD-NNフレームワークの安定性が裏付けられた。
• 本手法により、ドアの速度方向の変更が対称性の破れを引き起こし、臨界分岐構造を著しく変化させることを明らかにした。このため、分岐構造は単一パラメータの記述では明らかに非自明で、還元不能であることが示された。