[論文レビュー] An Asymptotic Expansion Formula for Up-and-Out Barrier Option Price under Stochastic Volatility Model

Takashi Kato, Akihiko Takahashi+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、関連するPDEに対して厳密な摂動法を適用することにより、SABRモデルを含む確率ボラティリティモデル下でのアッパー・アウト・バリア・オプションの価格付けのための半閉形式の漸近展開式を導出する。この手法により、ブラック・ショールズのバリア・オプション価格に対する一次補正項が得られ、零次近似よりも著しく精度が向上する。数値結果は、さまざまなボラティリティおよびバリア水準においてその有効性を確認している。

ABSTRACT

This paper derives a new semi closed-form approximation formula for pricing an up-and-out barrier option under a certain type of stochastic volatility model including SABR model by applying a rigorous asymptotic expansion method developed by Kato, Takahashi and Yamada (2012). We also demonstrate the validity of our approximation method through numerical examples.

研究の動機と目的

• 確率ボラティリティモデル下でのアッパー・アウト・バリア・オプション価格に対する、取り扱い可能な解析的近似を構築すること。これらのモデルは閉形式解を有しない。
• カトウ、タカハシ、ヤマダの漸近展開法を、従来ダウン・アンド・アウト・オプションにのみ適用されていた状況から、アッパー・アウトの場合へと拡張すること。
• 実務において、パス依存的デリバティブの価格付けにモンテカルロ法の代替として、数値的に効率的な手法を提供すること。
• 提案された近似の正確性と頑健性が、さまざまなモデルパラメータおよびバリア水準において確認されること。

提案手法

• 基礎資産とそのボラティリティの相関付き拡散過程を有する確率ボラティリティモデル下でのオプション価格に関するPDEを導出する。
• Cauchy–Dirichlet問題のPDEに対して、摂動理論に基づく厳密な漸近展開法を適用し、ε = 0（ブラック・ショールズ）の状況を中心に展開する。
• 移動密度の半群表現を用いて、ボラティリティ過程の生成作用素を含む一次補正項を表現する。
• ブラック・ショールズのバリア・オプション価格のボラティリティに関する微分および混合項を用いて、一次補正項を明示的に計算する。
• Feynman–Kacの公式を用いて、領域 D = (−∞, log H) からの最初の退出時刻までの殺されない拡散過程上の期待値としてオプション価格を表現する。
• 半群作用素を用いて補正項を数値的に評価し、モンテカルロ・シミュレーションの結果と比較してベンチマークとする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SABRモデルを含む確率ボラティリティモデル下でのアッパー・アウト・バリア・オプションに対して、半閉形式の漸近展開を導出可能か？
• RQ2 異なるバリア水準およびボラティリティパラメータにおいて、一次補正項はブラック・ショールズ価格に対してどの程度精度を向上させるか？
• RQ3 さまざまなモデル設定下で、漸近展開法の定量的性能はモンテカルロ法と比較していかなるものか？
• RQ4 ボラティリティのボラティリティ（εν）が増加する場合、この手法は依然として頑健性を保つか？
• RQ5 ブラック・ショールズのバリア・オプション価格のボラティリティおよび混合項に関する偏微分は、補正項にどのように寄与するか？

主な発見

• 漸近展開式により、ブラック・ショールズのバリア・オプション価格に対する一次補正項が得られ、零次近似と比較して価格誤差が著しく低減される。
• εν = 0.1の場合、全テストストライクおよびバリア水準において、AE一次近似は相対誤差1.7%未満を達成するが、AE零次近似では8%を超える誤差を示す。
• ενが0.2に上昇した場合でも、AE一次近似は相対誤差4.5%未満を維持し、より高い確率的ボラティリティ下でも頑健性を示す。
• ケース6（H=140, εν=0.2）において、AE一次法はモンテカルロ価格をわずかに0.78%過大評価するが、高ボラティリティ領域でも高い精度を示している。
• 補正項 εe−cT ∫₀ᵀ ̄Pᴰₛ ˜L₀¹ ̄Pᴰᵀ−s f(x) ds は、真のオプション価格とブラック・ショールズ価格の乖離を効果的に補正しており、本手法の妥当性を裏付けている。