[論文レビュー] An asymptotic formula for the displacement field in the presence of small anisotropic elastic inclusions

Elena Beretta, Éric Bonnetier+2 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2011

Composite Material Mechanics参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、小さな不均質体を含む滑らかで異方性な弾性体における変位場の漸近的公式を導出しており、以前の導電率に基づく結果を拡張している。ノイマン境界条件の枠組みを用いて、不均質体の測度と弾性モーメントテンソル 𝕄 を用いた境界変位差の一次近似を確立している。ここで 𝕄 は、幾何的制限なしに異方性材料対比と幾何を符号化している。

ABSTRACT

We derive asymptotic expansions for the displacement at the boundary of a smooth, elastic body in the presence of small inhomogeneities. Both the body and the inclusions are allowed to be anisotropic. This work extends prior work of CapdeBoscq and Vogelius ({\em Math. Modelling Num. Anal.} 37, 2003) for the conductivity case. In particular, we obtain an asymptotic expansion of the difference between the displacements at the boundary with and without inclusions, under Neumann boundary conditions, to first order in the measure of the inclusions. We impose no geometric conditions on the inclusions, which need only be measurable sets. The first-order correction contains an elastic moment tensor $\MM$ that encodes the effect of the inclusions. In the case of thin, strip-like, planar inhomogeneities we obtain a formula for $\MM$ only in terms of the elasticity tensors, which we assume strongly convex, their inverses, and a frame on the curve that supports the inclusion. We prove uniqueness of $\MM$ in this setting and recover the formula previously obtained by Beretta and Francini ({\em SIAM J. Math. Anal.}, 38, 2006).

研究の動機と目的

• 線形弾性における小さな異方性不均質体を伴う境界変位差の漸近的展開を導出すること。
• 導電率に基づく既存の漸近的公式を、異方性弾性設定に一般化すること。
• 不均質体に幾何的制限を課さず、可測性のみを要件として、弾性モーメントテンソル 𝕄 を特徴付けること。
• 弾性テンソルと曲線フレームを用いて、薄く平面的でストリップ状の不均質体に対して 𝕄 を明示的に計算すること。
• 強い凸性のもとで、薄い不均質体の場合のモーメントテンソルの一意性を証明し、以前の研究で知られている公式を回復すること。

提案手法

• 導電率から線形化された弾性に、Capdeboscq-Vogelius の手法を適応し、異方的かつ強く凸な弾性テンソルを扱う。
• 境界 $ \partial\Omega $ 上で、次の形の漸近的展開を導出する：$ (u_\epsilon - U)(y) = |\omega_\epsilon| \int_\Omega \mathbb{M}(x) \widehat{\nabla}U(x) : \widehat{\nabla}N(x,y) \, d\mu_x + o(|\omega_\epsilon|) $。
• 背景弾性作用素 $ \text{div}(\mathbb{C}_0 \widehat{\nabla} \cdot) $ に関連するノイマン関数 $ N $ を用いる。
• Korn の不等式と $ \mathbb{C}_0 $ の強い凸性を用いて、変位の勾配の $ L^2 $-ノルムを制御する。
• 薄い不均質体の場合、Francfort-Murat の均質化フレームワークに従い、有効テンソルの極限によって $ \mathbb{M} $ を構成する。
• 細かな正則性理論（Li-Nirenberg）と不均質体境界での伝達条件を用いて、平面的で薄い不均質体の場合の $ \mathbb{M} $ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小さな異方性不均質体に起因する変位摂動を、線形弾性においてどのように漸近的に展開できるか？
• RQ2 幾何的制限なしに一般異方性ケースにおける弾性モーメントテンソル $ \mathbb{M} $ の構造は何か？
• RQ3 モーメントテンソル $ \mathbb{M} $ は、弾性テンソル $ \mathbb{C}_0 $、$ \mathbb{C}_1 $ および不均質体の幾何にどのように依存するか？
• RQ4 薄く平面的な不均質体に対して、モーメントテンソルを明示的に計算できるか？また、強い凸性のもとで一意的か？
• RQ5 導出された公式は、特に薄い不均質体に対して、既知の結果（例えば等方的ケース）を回復するか？

主な発見

• 境界 $ \partial\Omega $ 上で、$ |\omega_\epsilon| $ の一次の精度において $ u_\epsilon - U $ の漸近的展開が確立された。可測な不均質体に対して有効である。
• 一次補正項には、Radon測度 $ \mu $ と $ \mathbb{M} \in L^2(\Omega, d\mu) $ の弾性モーメントテンソルが含まれ、これは $ \mathbb{C}_0 $ と $ \mathbb{C}_1 $ の対比に依存する。
• 直径が小さい不均質体の場合、$ \mu $ は不均質体中心におけるディラック測度となり、$ \mathbb{M} $ は不均質体の形状と弾性対比に依存する。
• 薄く平面的な不均質体の場合、$ \mu $ は滑らかな曲線 $ \sigma_0 $ 上に台を持つ。$ \mathbb{M} $ は弾性テンソルと曲線フレームを用いて明示的に特徴付けられる。
• 強い凸性のもとで、薄い不均質体の場合の $ \mathbb{M} $ の一意性が証明された。
• 公式は、Beretta と Francini (2006) が得た等方的薄い不均質体に対する既知の結果を回復し、従来の研究と整合性を示している。