[論文レビュー] An Asymptotic-Preserving all-speed scheme for the Euler and Navier-Stokes equations

Floraine Cordier, Pierre Degond+1 more|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Aug 14, 2011

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、圧縮性から非圧縮性流れまで、すべてのマッハ数で安定的かつ正確に保証される、Euler方程式およびナビエ＝ストークス方程式の漸近的保存的（Asymptotic-Preserving）全速度域有限体積スキームを提示する。音響項を陰的に取り扱い、半陰的離散化を用いることで、時間刻みがマッハ数に依存せず、非圧縮限界における発散なしの速度場を保持し、楕円型圧力方程式を解くことで、両領域の整合的なシミュレーションを第二階層の精度で実現する。

ABSTRACT

We present an Asymptotic-Preserving 'all-speed' scheme for the simulation of compressible flows valid at all Mach-numbers ranging from very small to order unity. The scheme is based on a semi-implicit discretization which treats the acoustic part implicitly and the convective and diffusive parts explicitly. This discretization, which is the key to the Asymptotic-Preserving property, provides a consistent approximation of both the hyperbolic compressible regime and the elliptic incompressible regime. The divergence-free condition on the velocity in the incompressible regime is respected, and an the pressure is computed via an elliptic equation resulting from a suitable combination of the momentum and energy equations. The implicit treatment of the acoustic part allows the time-step to be independent of the Mach number. The scheme is conservative and applies to steady or unsteady flows and to general equations of state. One and Two-dimensional numerical results provide a validation of the Asymptotic-Preserving 'all-speed' properties.

研究の動機と目的

• 高圧縮性流れから低マッハ数非圧縮性流れまで、すべてのマッハ数で安定的かつ正確に保証される数値スキームの開発。
• 漸近的保存的であることを保証すること、すなわちマッハ数がゼロに近づくにつれて、非圧縮限界の整合的離散化に収束すること。
• 音速に依存しない時間刻みを維持し、低マッハ数領域における古典的明示スキームの深刻なCFL制限を克服すること。
• 非圧縮領域における速度場の発散なし条件を保持し、正しく圧力を解明すること。
• 既存のAPスキームを等エントロピーから完全なEulerおよびナビエ＝ストークス方程式（エネルギー項および一般状態方程式を含む）へと拡張すること。

提案手法

• 音響項を陰的に、対流・拡散項を明示的に扱う半陰的有限体積離散化により、マッハ数に依存しない時間刻みを実現する。
• 非圧縮限界における速度場の発散なし条件を満たすために、ステガレートメッシュを用いる。
• 運動量方程式とエネルギー方程式を組み合わせることで楕円型圧力方程式を導出し、低マッハ領域における一貫した圧力再構築を保証する。
• 音響項の陰的取り扱いにより、時間刻みが音速ではなく流体速度に依存するようになり、低マッハ流れにおける剛性を解消する。
• フラックス再構築にKurganov-Tadmor型中央スキームを用いることで、第二階層の精度を達成する。
• 保存則を満たし、一般状態方程式（理想気体および実在気体モデルを含む）を用いた定常・非定常流れに適用可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同一の数値スキームで、再パラメータ化なしに圧縮性および非圧縮性流れ領域を正確にシミュレートできるか？
• RQ2 マッハ数が非常に小さい値（例：10−4）に低下しても、スキームが安定的かつ正確に保たれるか？
• RQ3 マッハ数に依存しない時間刻みを維持しながら、正しい衝撃波速度と非圧縮性挙動を保持できるか？
• RQ4 非圧縮限界における速度場の発散なし条件をどの程度正確に満たすか？
• RQ5 エネルギー方程式、熱伝達、相変化を含む複雑な流れを、一般状態方程式を用いて扱えるか？

主な発見

• スキームは圧縮性および非圧縮性領域の両方で第二階層の精度を達成し、正しい衝撃波速度と不連続性の解像度を示す。
• 低マッハ領域（ε = 10−4）において、非圧縮限界と整合する循環流れパターンを生成し、専用の低マッハ数Roeスキームの結果と一致する。
• 熱駆動キャビティテストケースにおいて、Roeスキームは正しく流体構造を捉えられないが、APスキームおよび低マッハ数Roeスキームは類似した物理的に正確な結果を生成する。
• 熱駆動キャビティケースにおける局所的マッハ数は10−5から10−9の範囲にあり、非圧縮領域であることが確認され、APスキームは安定的かつ正確に保たれる。
• 時間刻みは音速ではなく流体速度に基づくため、低マッハ流れにおける明示スキームよりもはるかに大きな時間刻みが可能である。
• 四式混合モデルおよび実在水蒸気状態方程式を用いた加熱チャネル内の二相流を、スキームは正しくシミュレートし、相変化および熱伝達を含む。