[論文レビュー] An asymptotic representation formula for scattering by thin tubular structures and an application in inverse scattering

Yves Capdeboscq, Roland Griesmaier+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2020

Numerical methods in inverse problems参考文献 34被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、3次元における薄いチューブ状構造物による電磁散乱の漸近的表現公式を導出する。散乱場が中心曲線に沿った積分に収束し、デイアディック・グリーン関数と極化テンソルを含むことが示された。主な貢献は、電気的および磁気的極化テンソルの点ごとの特徴付けであり、これらが中心曲線に垂直な平面における2次元断面テンソルと一致することを示した。これにより、マクスウェル方程式を繰り返し解かずに効率的な逆散乱アルゴリズムが可能となる。

ABSTRACT

We consider the scattering of time-harmonic electromagnetic waves by a penetrable thin tubular scattering object in three-dimensional free space. We establish an asymptotic representation formula for the scattered wave away from the thin tubular scatterer as the radius of its cross-section tends to zero. The shape, the relative electric permeability and the relative magnetic permittivity of the scattering object enter this asymptotic representation formula by means of the center curve of the thin tubular scatterer and two electric and magnetic polarization tensors. We give an explicit characterization of these two three-dimensional polarization tensors in terms of the center curve and of the two two-dimensional polarization tensor for the cross-section of the scattering object. As an application we demonstrate how this formula may be used to evaluate the residual and the shape derivative in an efficient iterative reconstruction algorithm for an inverse scattering problem with thin tubular scattering objects. We present numerical results to illustrate our theoretical findings. Mathematics subject classifications (MSC2010): 35C20, (65N21, 78A46)

研究の動機と目的

• 薄いチューブ状物体の電磁散乱に関する漸近的表現公式を、断面半径が0に近づく極限において導出すること。
• 中心曲線および断面幾何学に基づいて、薄いチューブ状散乱体の極化テンソルを特徴付けること。
• マクスウェル方程式の反復的解法を避けることで、逆散乱問題における効率的な繰り返し再構成を可能にすること。
• 遠方場データから中心曲線を再構成する応用において、漸近的公式の有効性を示すこと。
• 楕円形断面に対して明示的な公式を提示し、数値的にその有効性を検証すること。

提案手法

• 時間調和マクスウェル方程式を用いて、自由空間内における薄いチューブ状散乱体の散乱電磁場の漸近展開を導出する。
• 文献[1, 28]における低体積摂動枠組みを、文献[4, 9]の積分方程式技法を用いて非有界領域へ応用する。
• 電気的および磁気的極化テンソルを、1つの固有ベクトルが中心曲線に接する3×3対称行列として特徴付ける。
• 中心曲線に垂直な平面において、3次元極化テンソルが断面の2次元極化テンソルに簡約されることを示す。
• 漸近的公式を用いて、マクスウェル方程式の反復的解法を回避する再構成アルゴリズムにおける残差および形状微分を構築する。
• 円形断面を対象として逆散乱に応用し、遠方場データを用いて反復的スキームにより中心曲線を再構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 薄いチューブ状散乱体の断面半径が0に近づくとき、散乱電磁場はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 一般の薄いチューブ状散乱体に対して、電気的および磁気的極化テンソルの明示的構造は何か？
• RQ3 極化テンソルは、中心曲線の幾何学および2次元断面形状に基づいて表現可能か？
• RQ4 漸近的表現公式は、薄いチューブ状物体の逆散乱アルゴリズムの高速化にどのように利用可能か？
• RQ5 遠方測定値から中心曲線を回復する際、得られた反復的再構成スキームの性能はいかがなものか？

主な発見

• 薄いチューブ状散乱体の半径が0に近づくにつれ、散乱場は0に収束するが、1次項は非自明であり、有効な散乱挙動を捉えている。
• 極化テンソルは、1つの固有ベクトルが中心曲線に接する3×3対称行列であり、固有値が1である。これは、縦方向の極化支配を示している。
• 中心曲線に垂直な平面において、3次元極化テンソルは断面の2次元極化テンソルと正確に一致する。これにより次元削減が可能となる。
• 楕円形断面に対しては、2次元極化テンソルの明示的公式が得られ、散乱場の完全な明示的漸近的表現が可能となる。
• 漸近的モデルにより、マクスウェル系を1回も解かずに残差および形状微分を計算できる反復的逆散乱アルゴリズムが構築可能となり、計算コストが著しく削減される。
• 数値結果により理論的予測が妥当であることが確認され、円形断面を有する薄いチューブ状散乱体の再構成スキームの効率性と正確性が示された。