[論文レビュー] An asymptotic thin shell condition and large deviations for multidimensional projections

Steven Soojin Kim, Kavita Ramanan|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 45被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、Stiefel多様体上のハール測度から得られるランダムな $k_n$-次元部分空間への高次元確率的ベクトルのランダム射影に関して、3つの漸近的スケーリングの下で、アンネールド大偏差原理（LDP）を確立する。それぞれのスケーリングは、定数 $k_n = k$、$k_n \to \infty$ かつ $k_n/n \to 0$ の非線形的、および $k_n/n \to \lambda \in (0,1]$ の線形的である。また、射影座標の経験的測度およびスケーリングされた $\ell_q$ ノルムのLDPを導出し、従来の結果を一変量設定や $\ell_p^n$ ボールにとどまらず、より一般の設定へと拡張する。

ABSTRACT

Consider the projection of an $n$-dimensional random vector onto a random $k_n$-dimensional basis, $k_n \leq n$, drawn uniformly from the Haar measure on the Stiefel manifold of orthonormal $k_n$-frames in $\mathbb{R}^n$, in three different regimes as $n ightarrow \infty$: ($k_n=k$), ($k_n ightarrow \infty$ but $k_n/n ightarrow 0$) and $k_n/n ightarrow \lambda$ with $0 < \lambda \le 1$). When the sequence of random vectors satisfies a certain asymptotic condition, we establish annealed large deviation principles (LDPs) for the corresponding sequence of random projections in the constant regime, and for the sequence of empirical measures of the coordinates of the random projections in the sublinear and linear regimes. We also establish LDPs for certain scaled $\ell_q$ norms of the random projections in these different regimes. Moreover, we verify our assumptions for various sequences of random vectors of interest, including those distributed according to Gibbs measures with superquadratic interaction potential, or the uniform measure on suitably scaled $\ell_p^n$ balls, for $p \in [1,\infty)$, and generalized Orlicz balls defined via a superquadratic function. Our results complement the central limit theorem for convex sets and related results which are known to hold under a thin shell condition. These results also substantially extend existing large deviation results for random projections, which are first, restricted to the setting of measures on $\ell_p^n$ balls, and secondly, limited to univariate LDPs (i.e., in $\mathbb{R}$) involving either the norm of a $k_n$-dimensional projection or the projection of $X^{(n)}$ onto a random one-dimensional subspace. Random projections of high-dimensional random vectors are of interest in a range of fields including convex geometry and high-dimensional statistics.

研究の動機と目的

• 高次元確率的ベクトルの多次元射影における大偏差理論を、さまざまな漸近的スケーリングの下で拡張すること。
• 従来のLDPが一変量射影や特定の測度（例：$\ell_p^n$ ボール）に限定されているという限界を是正すること。
• 一般の条件下で、射影座標の経験的測度および $\ell_q$ ノルムに対するアンネールドLDPを確立すること。
• ギブス測度に超二次的ポテンシャルをもつモデルや一般化されたオーリッチ球に対して、仮定を検証すること。
• 細いシェル条件の下での中心極限定理を補完するために、同じ枠組みで大偏差結果を提供すること。

提案手法

• Stiefel多様体上のハール測度を用いて、$\mathbb{R}^n$ 内の正規直交 $k_n$-フレームを一様にランダムに選択し、部分空間選択の均一性を保証する。
• 3つの漸近的スケーリングの下で分析する：$k_n = k$ が固定、$k_n \to \infty$ かつ $k_n/n \to 0$、$k_n/n \to \lambda \in (0,1]$。
• アンネールド大偏差理論を適用し、射影されたベクトルの座標の経験的測度に対するLDPを導出する。
• 射影のスケーリングされた $\ell_q$ ノルムに対するLDPを導出し、各スケーリングの下でレート関数を確立する。
• 超二次的相互作用ポテンシャルをもつギブス測度に従う確率的ベクトル列に対して、漸近的細いシェル条件を検証する。
• 超二次的関数を用いて定義される一般化されたオーリッチ球に対して、フレームワークを検証し、標準的な $\ell_p^n$ ノルムを超える適用可能性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元において、多次元確率的射影の経験的測度が大偏差原理を満たす条件は何か？
• RQ2 固定、非線形的、線形的 $k_n$ スケーリングという3つの漸近的スケーリングにおいて、大偏差挙動はどのように異なるか？
• RQ3 アンネールドLDPフレームワークを一変量射影から、ベクトル値または経験的測度に基づく観測量へと拡張可能か？
• RQ4 超二次的相互作用ポテンシャルをもつギブス測度が、必要な漸近的細いシェル条件をどの程度満たすか？
• RQ5 超二次的関数を用いて定義される一般化されたオーリッチ球は、その確率的射影に対して大偏差原理を満たすか？

主な発見

• 定数、非線形的、線形的 $k_n$ スケーリングという3つの漸近的スケーリングの下で、射影座標の経験的測度に対するアンネールド大偏差原理が確立された。
• 射影のスケーリングされた $\ell_q$ ノルムに対するLDPが導出され、高次元射影における尾部挙動の定量的記述が可能になった。
• 超二次的相互作用ポテンシャルをもつギブス測度に従う確率的ベクトルに対して、漸近的細いシェル条件が検証された。これにより、LDPフレームワークの適用が可能となった。
• $p \in [1, \infty)$ に対して適切にスケーリングされた $\ell_p^n$ ボール上の一様測度に対しても、フレームワークが適用可能であり、従来の結果を多次元観測量へと拡張した。
• 超二次的関数を用いて定義される一般化されたオーリッチ球は、必要な条件を満たし、古典的な $\ell_p$ 框組みを越えた広範な適用可能性を示した。
• 本稿の結果は、一変量射影や $\ell_p^n$-に基づく測度にとどまらず、多次元射影のための統一的枠組みを提供する点で、従来の大偏差理論を顕著に拡張している。