[論文レビュー] An asymptotic variance of the self-intersections of random walks

George Deligiannidis, Sergey Utev|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、古典的なTauber定理を避けるために、新規のDarboux-Wiener型補題を用いて、1次元および2次元のランダムウォークにおける自己交差の正確な漸近分散を確立した。$d=1,2$ に対して長年予想されていた $ \operatorname{var}(V_n) \sim C n^2$ を証明し、KestenとSpitzerが提起したランダムウォークにおけるランダムスカイアの機能的中心極限定理の予想を裏付けた。

ABSTRACT

We present a Darboux-Wiener type lemma and apply it to obtain an exact asymptotic for the variance of the self-intersection of one and two-dimensional random walks. As a corollary, we obtain a central limit theorem for random walk in random scenery conjectured by Kesten and Spitzer in 1979.

研究の動機と目的

• 1次元および2次元ランダムウォークの自己交差の分散が漸近的に $O(n^2)$ であるという長年の予想を解決すること。
• ステップ分布の一般条件の下で、1次元および2次元における $\operatorname{var}(V_n)$ の正確な漸近式を導出すること。
• ランダムウォークにおけるランダムスカイアのための機能的中心極限定理を確立し、KestenとSpitzerの予想を裏書くこと。
• 単調性仮定を必要としない、複素生成関数とコーシーの積分公式に基づく新規な手法を開発すること。

提案手法

• 複素 $\lambda$ を用いた $\operatorname{var}(V_n)$ の生成関数の漸近挙動を解析するためのDarboux-Wiener型補題を導入し、Tauber定理を回避する。
• コーシーの積分公式を用いて生成関数から係数を抽出し、単調性制約なしに正確な漸近挙動を得る。
• 局所中心極限定理の技法に基づく直接的なフーリエアプローチを用い、Tauber定理を用いない分散の上限を導出する。
• 条件付きLindeberg型の議論と最大不等式を用いて、$Y_n(t)$ がブラウン運動に弱収束することを証明する。
• 切断処理とNewman-Wrightの最大不等式を用いて、有限次元分布のtightnessを確立する。
• 局所時間の漸近挙動と $\sup_\alpha N_\alpha(n)$ のほとんど確実な上界を用いて、スカイア過程の挙動を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称Cauchy分布に吸引される1次元ランダムウォークにおける自己交差 $V_n$ の正確な漸近分散は何か？
• RQ2 非特異な共分散行列を有する2次元ランダムウォークにおける自己交差の正確な漸近分散は何か？
• RQ3 KestenとSpitzerが予想したように、正規化 $c_n = \sqrt{n \log n}$ の下で、ランダムウォークにおけるランダムスカイアのための機能的中心極限定理は成立するか？
• RQ4 対称性の仮定なしに、およびTauber定理を用いずに分散予想を証明できるか？

主な発見

• 1次元の場合、$f(t) = 1 - \gamma|t| + R(t)$ で $R(t) = o(|t|)$ の下で、$\operatorname{var}(V_n) \sim 4\left(\frac{1}{12\gamma^2} + \frac{1}{\pi^2\gamma^2}\right)n^2$。
• 2次元の場合、$f(t) = 1 - \frac{1}{2}\langle\Sigma t, t\rangle + R(t)$ で $R(t) = o(|t|^2)$ の下で、$\operatorname{var}(V_n) \sim 4(2\pi)^{-2}|\Sigma|^{-1}(1 + \kappa)n^2$、ここで $\kappa = \int_0^\infty\int_0^\infty \frac{dr\,ds}{(1+r)(1+s)\sqrt{(1+r+s)^2 - 4rs}} - \frac{\pi^2}{6}$。
• 単調性仮定を必要としない複素解析的アプローチにより、対称性の仮定なしに分散予想 $\operatorname{var}(V_n) = O(n^2)$ が裏付けられた。
• ランダムウォークにおけるランダムスカイアのための機能的中心極限定理が証明された：$Y_n(t) = \sqrt{\pi\gamma} \sum_{i=0}^{[nt]} \xi(S_i)/\sigma\sqrt{2n\log n}$ は、ほとんど確実に $D[0,1]$ 上でブラウン運動に弱収束する。
• $Y_n(t)$ の有限次元分布はブラウン運動の分布に収束し、切断処理と最大不等式によりtightnessが確立された。
• $V_n / \mathbb{E}[V_n] \to 1$ のほとんど確実収束が確認された。これは $O(n^2)$ の分散バウンドとBolthausenらの結果に依拠している。