[論文レビュー] An asymptotics of variance of the lattice points count

Jiřı́ Janáček|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$ rD \subset \mathbb{R}^d $ にランダムにシフトおよび回転させた拡大された集合における格子点数の漸近的分散を確立し、回転に関するフーリエ変換の2乗平均が $ O(\rho^{-d-1}) $ と減少する条件下で、これが $ C_{\mathbf{T}} H^{d-1}(\partial D) r^{d-1} $ のスケーリングに従うことを示している。この結果は、$ D $ の等方的共分散関数にウィーナー型タウバリアン定理を適用することにより得られ、境界が区分的 $ C^2 $ または凸であるような集合へ既存の結果を拡張したものである。

ABSTRACT

The variance of the number of lattice points inside the dilated bounded set rD with random position in R^d has asymptotics r^(d-1) if the rotational quadratic average of the modulus of the Fourier transform of the set is O(r^(-d-1)). The asymptotics follows from a Wiener's Tauberian theorem.

研究の動機と目的

• ランダムに配置され回転された拡大集合 $ rD \subset \mathbb{R}^d $ における格子点数の分散の漸近的挙動を導出すること。
• 分散が $ r^{d-1} $ のように増加するための $ D $ の幾何学的およびフーリエ解析的性質に関する十分条件を特定すること。
• 球体に限らない、正則な境界を持つ一般のコンパクトかつ $ d $ 次元の全空間的集合への、分散漸近挙動に関する既存結果の拡張。
• 等方的共分散関数およびそのフーリエ変換が漸近的分散のスケーリングを決定する役割を確立すること。
• 凸集合や $ C^{3/2} $-滑らかさを持つ境界をもつ集合へ適用可能な、一般化された枠組みを提供すること。

提案手法

• 特性関数 $ \widehat{I_D} $ のフーリエ変換およびその回転平均を用いて、格子点数の分散を分析する。
• 等方的共分散関数 $ \overline{\gamma_D} $ にウィーナー型タウバリアン定理を適用し、その減衰と漸近的分散を関連付ける。
• 径数関数のフーリエ変換のハーネル変換表現を用いて、$ \widehat{I_D} $ をベッセル関数と関連付ける。
• 双対格子点の和を用いて、格子定数 $ C_{\mathbf{T}} $ を定義し、$ |A^{-1}n|^{-d-1} $ で重みづけられる。
• 関係式 $ \widehat{\overline{\gamma_D}} = \int_{S^{d-1}} |\widehat{I_D}(\rho\xi)|^2 d\xi $ を用いて、回転平均と分散を結びつける。
• 収束性および漸近的平均挙動を保証するため、$ \rho^{d+1} \widehat{\overline{\gamma_D}}(\rho) \in L^\infty(\mathbb{R}^+) $ の条件を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合 $ D \subset \mathbb{R}^d $ がどのような条件下に、ランダムな位置における $ rD $ の格子点数の分散が $ r^{d-1} $ のように漸近的に増加するか。
• RQ2 集合 $ D $ のフーリエ変換の回転に関する2乗平均が、格子点数の漸近的分散にどのように影響を与えるか。
• RQ3 境界が区分的 $ C^2 $ または凸である場合、分散の正確な漸近的形は何か。
• RQ4 表面測度 $ H^{d-1}(\partial D) $ および格子定数 $ C_{\mathbf{T}} $ を用いて、漸近的分散を表現できるか。
• RQ5 タウバリアン法を用いて漸近的分散を導出するにあたり、等方的共分散関数 $ \overline{\gamma_D} $ が果たす役割は何か。

主な発見

• ランダムな位置および回転を伴う $ rD $ における格子点数の分散は、漸近的に $ C_{\mathbf{T}} H^{d-1}(\partial D) \Phi(r) r^{d-1} $ に比例する。ここで $ \Phi(r) $ は $ \lim_{t\to\infty} \frac{1}{t} \int_0^t \Phi(s) ds = 1 $ を満たす。
• もし $ \rho^{d+1} \widehat{\overline{\gamma_D}}(\rho) $ が有界であれば、$ \Phi(r) $ も有界であり、$ \limsup_{r\to\infty} \Phi(r) \leq 2 $ が成り立つ。
• もし $ \lim_{\rho\to\infty} \rho^{d+1} \widehat{\overline{\gamma_D}}(\rho) $ が存在すれば、$ \lim_{r\to\infty} \Phi(r) = 1 $ となり、正確な漸近挙動 $ \sim C_{\mathbf{T}} H^{d-1}(\partial D) r^{d-1} $ が得られる。
• 条件 $ \int_{S^{d-1}} |\widehat{I_D}(\rho\xi)|^2 d\xi = O(\rho^{-d-1}) $ が $ \rho \to \infty $ のとき成り立つならば、$ r^{d-1} $ の漸近挙動が十分条件を満たす。
• この結果は、区分的 $ C^2 $ 境界および $ d $ 次元の凸集合を含むコンパクト体に対して成り立ち、これらは必要なフーリエ減衰条件を満たしている。
• 格子定数 $ C_{\mathbf{T}} = \frac{1}{2\pi^2 d \kappa_d} \sum_{0 \neq n \in \mathbb{Z}^d} |A^{-1}n|^{-d-1} $ は、格子構造に依存する要因を定量化する。