[論文レビュー] An Atiyah-Hirzebruch spectral sequence for KR-theory

Daniel Dugger|ArXiv.org|Apr 7, 2003

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Z/2-等変ホモトピー理論の文脈において、KR理論のアティヤ＝ヒルツブルフスペクトル系列を構成する。歪み付きポストニコフ切断関手を用いて、スペクトル Z×BU に塔を構成し、その層が等変エイレンバーグ＝マクレイン空間となるようにする。主要な結果として、E2頁がRO(G)-次数付きエイレンバーグ＝マクレインコホロロジー（定数Z係数）で与えられ、等変K理論に収束するスペクトル系列が得られ、等変K理論にモチーフ的枠組みを確立する。

ABSTRACT

We construct a spectral sequence for computing KR-theory, analogous to the spectral sequence relating motivic cohomology to algebraic K-theory.

研究の動機と目的

• Z/2-等変ホモトピー理論の文脈において、代数的K理論のモチーフ的アティヤ＝ヒルツブルフスペクトル系列の等変類似を構築すること。
• RO(G)-次数付きエイレンバーグ＝マクレインコホロロジー（定数マッケイ関手係数）とKR理論を関連付けるスペクトル系列を構築すること。
• 将来的にモチーフ的ホモトピー理論に適応可能となるような、スペクトル系列の枠組みを提供すること。
• スペクトル系列のE2頁を特定するために、pt および Z/2 におけるエタールコホロロジー群 H_et^{p,q}(pt) と H_et^{p,q}(Z/2) を計算すること。
• H^{0,*}_et(pt) における環構造を確立し、非等変および等変コホロロジーにおける既知の構造と関連付けること。

提案手法

• Z/2-等変スペクトル Z×BU にフィルトレーションを構成するため、歪み付きポストニコフ切断関手を用いる。これにより、等変エイレンバーグ＝マクレイン空間となる層に分解される。
• モチーフ的ホモトピー理論の慣習に従い、球体およびコホロロジー群に二重次数 (p+q,q) を用いるインデックス付けを行う。
• HZ を、S^{2n,n} 上の自由アーベル群として等変エイレンバーグ＝マクレインスペクトルとし、S^{2,1} の作用によって誘導される構造写像を備える。
• S^{0,0} → S^{1,1} → Z/2_+ ∧ S^{1,0} などのコファイバー列を用いて、異なる次数におけるコホロロジー群を計算する。
• S^1_a および E(Z/2) を含むコファイバー列を用いて、商の単体的コホロロジーを計算し、エタールコホロロジー群を導出する。
• スペクトル系列をモチーフ的ケースと比較し、安定化を用いて、不完全な層から完全なスペクトル系列を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Z/2-等変設定におけるKR理論のアティヤ＝ヒルツブルフスペクトル系列の構造は何か？
• RQ2 歪み付きポストニコフ切断は、スペクトル Z×BU からKR理論へのスペクトル系列をどのように構成できるか？
• RQ3 定数マッケイ関手 Z に対する RO(G)-次数付きエイレンバーグ＝マクレインコホロロジー群 H^{p,q}(pt; Z) は何か？
• RQ4 エタールコホロロジー群 H_et^{p,q}(pt) と H_et^{p,q}(Z/2) は、スペクトル系列のE2頁とどのように関係するか？
• RQ5 H^{0,*}_et(pt) における環構造は何か？ そして、等変およびモチーフ的コホロロジーにおける既知の構造と比較するとどうなるか？

主な発見

• スペクトル系列は KR^{p+q}(X) に収束し、E2頁は E2^{p,q} = H^{p,-q/2}(X; Z) で与えられる。ここで H^{*,*} は定数Z係数のRO(G)-次数付きエイレンバーグ＝マクレインコホロロジーを表す。
• 点に対しては、すべての n ≥ 1 に対して H_et^{0,-2n}(pt) = Z かつ H_et^{0,-2n+1}(pt) = 0 であり、H_et^{0,-2n}(pt) → H_et^{0,-2n}(Z/2) は同型である。
• H_et^{0,-2}(pt) は Z に同型であり、写像 H^{0,-2} → H_et^{0,-2} は2倍写像である。この性質を帰納的に用いて、高次の群の構造を導出する。
• 環 H^{0,*}_et(pt) は Z[y] に同型であり、y は次数 (0,-2) に属する。乗法性はコファイバー列からの長完全系列によって決定される。
• スペクトル系列は、歪み付きポストニコフ切断を用いた Z×BU 上の塔によって構成され、安定化により不安定な層から完全なスペクトル系列が回復される。
• H_et^{p,q}(pt) の計算により、p < 0 かつ q < 0 のときには群が消えることが示され、コファイバー列および単体的コホロロジーとの比較を用いて、すべての次数で群が完全に特定される。