[論文レビュー] An Automaton Group with PSPACE-Complete Word Problem

Jan Philipp Wächter, A. Weiss|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2019

semigroups and automata theory被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、PSPACE完全な語問題を備えた二進アルファベット上の自己同型群を構成し、Steinbergの予想を解決する。この構成は、Turing機械の計算をねじれ共轭子とBarringtonの技法（群A5を用いて）を用いてシミュレートするが、同時に圧縮語問題がEXPSPACE完全であることも証明し、アルファベットサイズと複雑さの点で最適性を達成する。

ABSTRACT

We construct an automaton group with a PSPACE-complete word problem, proving a conjecture due to Steinberg. Additionally, the constructed group has a provably more difficult, namely EXPSPACE-complete, compressed word problem and acts over a binary alphabet. Thus, it is optimal in terms of the alphabet size. Our construction directly simulates the computation of a Turing machine in an automaton group and, therefore, seems to be quite versatile. It combines two ideas: the first one is a construction used by D'Angeli, Rodaro and the first author to obtain an inverse automaton semigroup with a PSPACE-complete word problem and the second one is to utilize a construction used by Barrington to simulate Boolean circuits of bounded degree and logarithmic depth in the group of even permutations over five elements.

研究の動機と目的

• 自己同型群にPSPACE完全な語問題が存在するというSteinbergの予想を解決すること。
• アルファベットサイズの最適性を達成する二進アルファベット上にそのような群を構成すること。
• 構成された群の圧縮語問題がEXPSPACE完全であることを証明し、より難しい問題であることを示すこと。
• 逆自己同型半群とBarringtonの分岐プログラムシミュレーションの技術を統合・拡張し、結果を達成すること。

提案手法

• D’Angeli, Rodaro, and Wächter (2019) のマスターレダクションを適合させ、Turing機械の計算を直接自己同型群に符号化する。
• Barringtonの手法を用い、5要素の偶数置換の群A5を用いて、深さ有界で定数ファンインのブール回路をシミュレートする。
• ねじれ共轭子と直線プログラムを用いて、群の要素にTuring機械の状態構成を符号化する。
• 群の要素がTuring機械の構成を表す状態列に対応する、二進アルファベットΣ（|Σ| = 2）上のG-自己同型T = (Q, Σ, δ)を構成する。
• 複雑な群の要素のための直線プログラムを対数的空間で生成し、効率的な圧縮を可能にする。
• 空間階層定理を用いて、圧縮語問題が標準語問題よりも厳密に難しいことを示し、EXPSPACE完全性を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二進アルファベット上に、PSPACE完全な語問題を有する自己同型群を構成できるか？
• RQ2 そのような群の圧縮語問題は、標準語問題よりも実際に難しいと証明できるか？
• RQ3 Barringtonの技法（置換群によるNC1回路のシミュレーション）を自己同型群に適応できるか？
• RQ4 この構成により、群構造内でのTuring機械の計算の直接的シミュレーションが可能か？
• RQ5 語問題がPSPACE完全であることを証明しつつ、圧縮語問題がEXPSPACE完全であることを保証できるか？

主な発見

• この論文は、PSPACE完全な語問題を有する二進アルファベット上の自己同型群を構成し、Steinbergの予想を裏付けた。
• 同じ群の圧縮語問題がEXPSPACE完全であることが証明され、複雑さの厳密な階層が示された。
• 構成は、ねじれ共轭子と直線プログラムを用いたTuring機械の計算の直接的シミュレーションに基づく。
• 群は5要素の偶数置換の群A5を用いて構築されるが、自己同型の実装によりアルファベットサイズを2に最小化した。
• 証明では、語問題がPSPACEに属し、PSPACE困難であり、圧縮語問題がEXPSPACEに属し、EXPSPACE困難であることが示された。対数的空間による圧縮入力の生成を用いた。
• アルファベットサイズの点で最適である。なぜなら、一文字のアルファベット（すなわち、一進）では、自己同型群においてPSPACE完全な語問題を実現できないからである。