[論文レビュー] An automorphic variant of the Deligne conjecture

Jie Lin|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、二次虚体上の $GL_n \times GL_{n'}$ 自動型表現のランキン・セルバーグ L 関数について、デリーニュ予想の自動型的変種を定式化する。自動型周期を定義し、それらをモチーフ的周期と関連させることで、純粋に自動型的な形での予想を確立し、$n'=1$、$n>n'$ で偶奇およびギャップ条件を満たす場合、および $m=1$ で同じ偶奇を満たす場合を含むいくつかのケースで、オリジナルのデリーニュ予想との整合性を示している。

ABSTRACT

In this paper we introduce an automorphic variant of the Deligne conjecture for tensor product of two motives over a quadratic imaginary field. On one hand, we define some motivic periods and rewrite the Deligne conjecture in terms of these periods. On the other hand, we define the automorphic analogue of these motivic periods and then give a purely automorphic variant of the Deligne conjecture. At last, we introduce some known results of this automorphic variant.

研究の動機と目的

• 二次虚体上のモチーフのテンソル積に関するデリーニュ予想の純粋な自動型的形の定式化を目的とする。
• モチーフ的周期に類似した自動型周期を定義し、それらがデリーニュ予想と整合することを確立する。
• 特定のケース、特に $n'=1$、$n>n'$ でギャップ条件を満たす場合、および $m=1$ で同じ偶奇を満たす場合において、自動型的変種のデリーニュ予想を証明する。
• 結果を CM 領域へ一般化し、自動型周期の基本拡張における関手的性質を確立する。

提案手法

• 二次虚体上のモチーフに対してモチーフ的周期を定義し、それらを用いてデリーニュ予想を再定式化する。
• 二次虚体 $K$ 上の $GL_n(\mathbb{A}_K)$ のカスプ的表現に対して自動型周期を導入する。
• 公式 $L(m,\Pi \times \Pi') \sim_{E(\Pi)E(\Pi');K} (2\pi i)^{nn'm} \prod_j P^{(j)}(\Pi)^{sp(j,\Pi;\Pi')} \prod_k P^{(k)}(\Pi')^{sp(k,\Pi';\Pi)}$ を通じて、自動型周期と L 関数の臨界値との間の予想的関係を確立する。
• 基本拡張理論を用いて、異なる CM 領域間での自動型周期を関連付け、無限遠点におけるそれらの分解性を確立する。
• 3 つの主要なケースで自動型的変種のデリーニュ予想を証明する：$n'=1$、$n>n'$ で偶奇が異なりギャップ条件を満たす場合、および $m=1$ で偶奇が同じ場合。
• ハリス（1997）、ガン＝グロス＝プラサド（2015）、および著者の博士論文（2015）の既知の結果を活用し、これらのケースにおける予想の正当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二次虚体上のモチーフのテンソル積に関するデリーニュ予想を自動型周期の観点から再定式化できるか？
• RQ2 自動型的変種のデリーニュ予想は、オリジナルのモチーフ的予想と整合的か？
• RQ3 $GL_n \times GL_{n'}$ のランキン・セルバーグ L 関数の臨界値は何か？ それらは自動型周期とどのように関係するか？
• RQ4 CM 領域における自動型周期は基本拡張の下でどのように振る舞い、無限遠点で分解可能か？
• RQ5 表現の自動型周期とその基本拡張の間には、関手的関係が存在するか？

主な発見

• 自動型的変種のデリーニュ予想は、$\Pi'$ が共役自己双対でない場合を含め、$n'=1$ の場合に証明されている。
• 偶奇が異なり、$-b_j$ が $a_i$ 間の異なるギャップに位置する場合、$n>n'$ の場合に予想が成り立つ。
• 偶奇が同じ場合、$m=1$ の場合に予想は検証されている。
• 自動型周期は無限遠点を介して分解可能であり、志村の予想を一般化し、CM 領域への拡張を可能にする。
• 基本拡張における自動型周期の関手的性質が確立され、$L$ 上の $\Pi$ の周期と $F$ 上のその基本拡張 $\pi$ の周期との間の明示的関係が得られた。
• モチーフ的周期と自動型周期を同一視した場合、自動型周期と L 値との間の予想的関係が、デリーニュ予想の予測と一致することが示された。