[論文レビュー] An Economic Bubble Model and Its First Passage Time

Angelos Dassios, Luting Li|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2018

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、経済バブルをモデル化するために、ドリフト項に指数的減衰を組み込んだ時間均一な拡散過程を提案する。このモデルにより、崩壊予測のための最初の通過時刻（FPT）密度の明示的計算が可能となる。主な貢献は、摂動技法を用いた下降的FPT密度の閉形式近似であり、ドットコムバブル、中国株式市場の暴落、ビットコイン価格動向の各データにカーブフィッティングすることで妥当性が検証され、暴落確率の予測精度が非常に高いことが示された。

ABSTRACT

We introduce a new diffusion process Xt to describe asset prices within an economic bubble cycle. The main feature of the process, which differs from existing models, is the drift term where a mean-reversion is taken based on an exponential decay of the scaled price. Our study shows the scaling factor on Xt is crucial for modelling economic bubbles as it mitigates the dependence structure between the price and parameters in the model. We prove both the process and its first passage time are well-defined. An efficient calibration scheme, together with the probability density function for the process are given. Moreover, by employing the perturbation technique, we deduce the closed-form density for the downward first passage time, which therefore can be used in estimating the burst time of an economic bubble. The object of this study is to understand the asset price dynamics when a financial bubble is believed to form, and correspondingly provide estimates to the bubble crash time. Calibration examples on the US dot-com bubble and the 2007 Chinese stock market crash verify the effectiveness of the model itself. The example on BitCoin prediction confirms that we can provide meaningful estimate on the downward probability for asset prices.

研究の動機と目的

• 経済的バブルサイクル中の資産価格ダイナミクスを現実的にモデル化できる、取り扱いやすく時間均一な拡散過程の開発。
• 既存のバブルモデルにおいて、特に暴落タイミングの観点から、最初の通過時刻密度の明示的推定が不足している問題に対処する。
• 価格の指数的減衰に基づくスケーリング要因の導入により、パラメータ依存性を低減し、過剰適合を緩和する。
• 現実世界への応用を想定した、経済的特徴に基づく実用的なカーブフィッティング手法の提供。
• 摂動に基づく解析的解を用いて、バブル崩壊時刻の確率的予測を可能にする。

提案手法

• スケーリングされた価格の指数的減衰を用いた平均回帰を組み込んだドリフト項を有する新しいSDEを提案し、モデルパラメータへの依存性を低減する。
• この過程が、強い解、一意な解、および再発的強マルコフ過程として定義され、明確な定常分布を持つことを確立する。
• 最初の通過時刻（FPT）のラプラス変換を導出し、摂動技法を適用して下降的FPT密度の閉形式近似を得る。
• 観測された価格下落を対数価格空間における到達レベルにマッピングし、経済的特徴を用いてパラメータを推定することで、歴史的価格データを用いたモデルのカーブフィッティングを実施する。
• 摂動誤差の推定とFPT密度近似の妥当性の検証のために、モンテカルロシミュレーション（10,000パス）を用いる。
• 拡張されたSDEから標準SDE形式へのパラメータの移行を実施し、解析的取り扱いの可能性を確保するとともに、FPTD計算にコロラリー4.9を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリフト項に指数的減衰を有する単純な時間均一な拡散過程は、経済的バブルのダイナミクスを効果的にモデル化できるか？
• RQ2 ドリフト項にスケーリング要因を組み込むことで、パラメータ依存性が低減され、モデルの頑健性が向上するか？
• RQ3 摂動技法を用いて、下落価格移動の最初の通過時刻密度を閉形式で導出できるか？
• RQ4 本モデルは、現実のバブル状況において、価格下落（例：10%、20%、30%）の確率をどれほど正確に予測できるか？
• RQ5 本モデルは、暴落が発生する前でも、ビットコインのような投機的資産について、意味のある暴落時刻の推定を提供できるか？

主な発見

• 提案された拡散過程は、強い解と一意な解を持つ良好に定義された半マルティンググレ過程であり、その最初の通過時刻はほとんど確実に有限である。
• この過程の定常分布は洗練された関数形を有しており、長期的な安定性とカーブフィッティングの支援を示している。
• 摂動に基づく手法により、10%〜50%の価格下落に対して、相対誤差2%未満の下降的最初の通過時刻密度の閉形式近似が得られた。
• ビットコイン（2017年12月〜2018年1月）のケースでは、10%下落の確率が69.38%、30%下落の確率が17.87%と予測され、観測データと整合的であった。
• ビットコインにおける20%下落の確率は40.19%と推定され、価格が11,497.30以上にとどまる確率が50%を超えることを示唆しており、直近の崩壊は予想されないことを示している。
• 米国ドットコムバブルおよび2007年の中国株式市場の暴落に対する検証により、本モデルが歴史的バブルダイナミクスと暴落タイミングを的確に捉えていることが確認された。