[論文レビュー] An effective proof of the hyperelliptic Shafarevich conjecture

Rafael von Känel|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、数体 K 上の genus g ≥ 1 の超楕円曲線で、有限個の場所を除いて良い還元を持つものの、Weierstrass 標準形の高さに対して明示的かつ計算可能な上限を確立することにより、超楕円曲線のShafarevich予想に対する有効な証明を提示する。この方法は、対数形式の有効還元理論とWeierstrass 標準形理論を組み合わせ、与えられた K, S, g に対して、その K-同型類の完全かつアルゴリズム的な分類を可能にする。

ABSTRACT

Let $C$ be a hyperelliptic curve of genus $g\geq 1$ over a number field $K$ with good reduction outside a finite set of places $S$ of $K$. We prove that $C$ has a Weierstrass model over the ring of integers of $K$ with height effectively bounded only in terms of $g$, $S$ and $K$. In particular, we obtain that for any given number field $K$, finite set of places $S$ of $K$ and integer $g\geq 1$ one can in principle determine the set of $K$-isomorphism classes of hyperelliptic curves over $K$ of genus $g$ with good reduction outside $S$.

研究の動機と目的

• 数体 K 上の、有限個の場所を除いて良い還元を持つ超楕円曲線の Weierstrass 標準形の高さに対する有効的かつ計算可能な上限を確立すること。
• K-同型類のアルゴリズム的列挙を可能にするために、超楕円曲線の有効なShafarevich予想を解決すること。
• 楕円曲線および genus 2 曲線に対する先行の有効的結果を拡張・改善し、すべての g ≥ 1 に対して一様で数論的枠組みを提供すること。
• Diophantine 幾何学への有効な応用、特に Jacobian を通じた有効な Mordell 予想および有効な Siegel の定理への影響を含め、基礎を築くこと。
• 良い還元条件の下で、判別式および高さに対する有効な上限を用いた、超楕円曲線のアルゴリズム的分類の実現可能性を示すこと。

提案手法

• Evertse と Győry の対数形式の有効還元理論を用いて、二進形式および単数の高さを制限する。
• Lockhart (1994) および Liu (1996) の Weierstrass 標準形に関する結果を応用し、T-整数環上での最小モデルを構成する。
• O×_T 内の x, y を持つ形の T-単数方程式 x + y = 1 を用いて、単元自己同型による平行移動後の高さを制御する。
• τ ∈ O_T を用いた変換 f(X) ↦ f(X + τ) を用いてモデルを正規化し、単数に対する有効な上限を活用して高さを低減する。
• Evertse-Győry の二進形式に対する一般化された有効定理を用いて、K-有理 Weierstrass 点を持たない曲線に対しても、グローバルな Weierstrass 標準形を扱い、有効な高さの上限を導出する。
• 局所的高さ推定とグローバル最小性条件を組み合わせ、整数環 O_K 上の最終的なモデルを、高さが有界であるように導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超楕円曲線のShafarevich予想は、同型類のアルゴリズム的列挙を可能にする明示的上限を伴って、有効に証明可能か？
• RQ2 数体 K 上の、有限集合 S を除いて良い還元を持つ超楕円曲線の Weierstrass 標準形の高さに対する有効な上限は何か？
• RQ3 対数形式の理論と単数方程式の理論を、Weierstrass 標準形理論とどのように組み合わせ、算術幾何学における有効な上限を達成できるか？
• RQ4 この手法は、K-有理 Weierstrass 点を持たない曲線やより一般の曲線へどの程度拡張可能か？
• RQ5 有効な Weierstrass 標準形から、Jacobina の絶対的安定 Faltings 高さ h_F(J) に対する有効な上限を導出可能か？また、これは有効な Mordell 予想とどのように関係するか？

主な発見

• 任意の超楕円曲線が、K 上の genus g で、S を除いて良い還元を持つ場合、絶対的対数的 Weil 高さが Ω(K, S, g) 以下であるような Weierstrass 標準形 Y² = f(X) を持つ有効な定数 Ω(K, S, g) が存在する。
• K 上の genus g で、S を除いて良い還元を持つ超楕円曲線の K-同型類は、高さが有界なモデルの数が有限かつ計算可能であるため、有効に列挙可能である。
• K-有理 Weierstrass 点を持つ曲線に対しては、単数判別式を持つ O_T 上の最小モデルが構成され、その後、単数方程式および平行移動による高さ制御が行われる。
• K-有理 Weierstrass 点を持たない曲線に対しては、Evertse-Győry の有効二進形式理論を拡張し、グローバルな Weierstrass 標準形を扱い、有効な高さの上限を導出する。
• この手法により、K の有限拡大 L における曲線 C の Jacobian J の絶対的安定 Faltings 高さ h_F(J) に対する有効な上限が得られる。ただし、C ×_K L の関数体が、f が首項かつ分離的で、∆(f) が T-整数環における単数であるようなモデル Y^m = f(X) を持つものとする。
• h_F(J) の上限は、判別式 |D_L|、次数 d_L、集合 T のノルム N_T、および genus g のみに依存し、Jacobian に対する Shafarevich 予想の新たな有効なケースを確立する。