[論文レビュー] An effective theory of GW and FJRW invariants of quintics Calabi-Yau manifolds

Huai-Liang Chang, Jun Li+2 more|Rare & Special e-Zone (The Hong Kong University of Science and Technology)|Mar 20, 2016

Geometric and Algebraic Topology被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、混合スピンP場と仮想局在化を用いて、5次カルビ＝ヤウ3次元多様体のグロモフ＝ウィッテン（GW）およびファン＝ジャービス＝ラウン＝ウィッテン（FJRW）不変量を計算する有効なアルゴリズムを開発する。トーラス固定点を解析し、局在化された仮想サイクルから多項式関係を導出することで、初期データが既知である限り、すべての genus の GW 不変量および 2/5-挿入付き FJRW 不変量の再帰的計算が可能になる。

ABSTRACT

This is the second part of the project toward an effective algorithm to evaluate all genus Gromov-Witten invariants of quintic Calabi-Yau threefolds. In this paper, the localization formula is derived, and algorithms toward evaluating these Gromov-Witten invariants are derived.

研究の動機と目的

• 5次3次元多様体の genus-g グロモフ＝ウィッテン不変量およびフェルマー5次特異点の FJRW 不変量を計算する体系的な手法を確立すること。
• 混合スピンP場のモジュライ空間における局在化された仮想サイクル構成を用いて、GWおよびFJRW不変量の間の多項式関係を導出すること。
• 低世代の初期データから高世代の不変量を決定する再帰的アルゴリズムを提供すること。
• 特に 2/5-挿入条件の文脈において、GWおよびFJRW不変量の初期データ集合の間の双対性と等価性を調査すること。

提案手法

• p-場およびオルビフォールド構造を備えた安定写像のモジュライ空間を定義する統一的枠組みとして、混合スピンP場（MSP）を用いる。
• $\bG_m$-可換モジュライスタック ${\rm W}_{g,\boldsymbol{\nu},\bld{d}}$ における仮想局在化を適用し、留数抽出を用いてトーラス固定点からの寄与を計算する。
• 等変オイラー類および仮想正規バンドルを含む明示的な局在化公式を導出し、等変パラメータ $\frak{t}$ に関する多項式関係を導く。
• 仮想サイクルの適切な台と定義可能性を保証するために、コセクション局在化された仮想サイクル構成に依存する。
• MSP形式主義からのフェイマン図の構造を活用して寄与を整理し、生成関数を抽出する。
• 可能な固定点を制限するために、仮想次元の公式 $\text{vir.dim} = \frac{1}{2}\big( \text{deg}({\rm K}_{{\rm C}}) + \text{deg}({\rm L}^{\bigotimes 5}) \big)$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 5次3次元多様体のグロモフ＝ウィッテン不変量は、低世代の不変量および FJRW 不変量のみを用いて再帰的に計算可能か？
• RQ2 2/5-挿入付き FJRW 不変量は低世代のデータから再帰的に計算可能か？また、最小限の初期データセットは何か？
• RQ3 GWおよびFJRW不変量の初期データセット $N_g$, $P_g$, および $A_g$ 間には対称的双対性が存在するか？
• RQ4 局在化された仮想サイクル関係から、GWおよびFJRW不変量の生成関数を再構成可能か？
• RQ5 MSP場のフェイマン図構造は FJRW ポテンシャルへと拡張可能であり、Landau-Ginzburg理論に双対構造を示唆するか？

主な発見

• 本稿では、すべての $g' < g$ および $d' < d$ に対する $N_{g',d'}$、およびすべての $g' < g$ かつ $k' \neq 2g-2$ に対する $\theta_{g',k'}$ が既知である限り、5次3次元多様体のすべての genus-$g$ グロモフ＝ウィッテン不変量 $N_{g,d}$ を再帰的に計算するアルゴリズムを確立する。
• g \neq 1 の場合、$g' < g$ かつ $k' \neq k-2$ である既知の $\theta_{g',k'}$ および $A_g$ と $N_g$ を用いて、$k \neq 7g-2$ である $\theta_{g,k}$ を計算する。
• genus 1 の場合、5次特異点のすべての FJRW 不変量 $\theta_{1,k}$ が計算可能であり、高世代再帰の初期データセットが完全に構成される。
• アルゴリズムにより、$N_g = \big\bracevert N_{g,d} \big\bracevert_{0<d<g}$ および $P_g = \big\bracevert \theta_{g,k} \big\bracevert_{2g-2 < k < 7g-2}$ が関係式のもとで等価であることが示され、GWおよびFJRW不変量の間の深い双対性が示唆される。
• 1つの頂点が genus $g$ で、$k$ 個の次数 $-2/5$ の辺を持つ固定グラフ $\bar{\frak{G}}$ の寄与は、$\theta_{g,k}$ に比例する項をもたらし、$\theta_{g,k}$ が低次の不変量の有理関数として明示的に抽出される。
• 本稿では、$k = 7g-2+5m$ のとき、$\theta_{g,k}$ が低次の不変量の多項式として表現可能であることを証明しており、等変オイラー類の計算から生じる係数 $(-1)^{m+1}/k!$ が関与する。